BÀI 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

KHỞI ĐỘNG

Bài 1: Cầu vòm được thiết kế với thanh vòm hình Parabol và mặt cầu ở đi ở giữa. Trong hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, phương trình của vòm cầu 

y = h(x) = −0,006+1,2x−30. Với giá trị h(x) như thế nào tại vị trí x(0≤x≤200), vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu?

Giải rút gọn: 

• Với giá trị h(x) > 0 thì vòm cầu cao hơn mặt cầu

• Với giá trị h(x) < 0 thì vòm cầu thấp hơn mặt cầu.

1. TAM THỨC BẬC HAI

Bài 1: Đồ thị của hàm số y = f(x) = − +x+3 được biểu diễn trong Hình 1.

a. Biểu thức f(x) là đa thức bậc mấy?

b. Xác định dấu của f(2).

Giải rút gọn: 

a. Đa thức bậc hai.

b. Có: f(2) = − 2²  + 2 + 3 = 1 > 0

=> f(2) mang dấu dương.

Bài 2. Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1.

a.  f(x) = −2+x−1

b.  g(x) = −+2+1

c. h(x) = −+x−3

Giải rút gọn: 

Biểu thức f(x) = −2+x−1 và h(x) = − +x−3 là tam thức bậc hai.

Ta có:

+) f(1) = -2.1²+1−1 = -2 < 0 => f(x) âm tại x =  1

+) h(1) = −1²1 -3 ≈ −2,6 < 0 => h(x) âm tại x = 1.

Bài 3: Tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai sau:

a. y = f(x) = 2−5x+2

b. y = g(x) = −+6x−9

c. y = h(x) = 4−6x+9

Giải rút gọn: 

a. y = f(x) = 2−5x+2  

Δ = (−5)²−4.2.2 = 9 > 0

⇒ f(x) có hai nghiệm phân biệt: và

b. y = g(x) = −+6x−9 

Δ = (6)²−4.(−1).(−9) = 0 

⇒ g(x) có nghiệm kép: x₁ = x₂  =

c. y = h(x) = 4−4x+9 

Δ = (−4)²−4.4.9 = −128 < 0 

⇒ g(x) vô nghiệm. 

2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Bài 1: Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:

Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức Δ.

Các khoảng giá trị của x mà trên đó f(x) cùng dấu với hệ số của x².

Giải rút gọn: 

a) y = f(x) = − +2x−2 

Δ < 0 ; f(x) vô nghiệm

Có a = -1 < 0; f(x) < 0, ∀x ∈ R

=> f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

b) y = f(x) = − +2x−1.

Δ = 0;  f(x) có nghiệm kép x₁ = x₂ = 1

Có a = -1 < 0; f(x) < 0, ∀x ∈ R\{1}

=> f(x) cùng dấu với hệ số a với x ≠ 1.

c) y = f(x) = − +2x+3

Δ > 0; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x₁ = -1 và x₂ = 3.

Có: a = -1 < 0; f(x) < 0  khi x ∈ (−∞;−1)∪(3;+∞).

=> f(x) cùng dấu với hệ số a với x < -1 hoặc x > 3.

d) y = f(x) = +6x+10

Δ < 0; f(x) vô nghiệm.

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 ∀x ∈ R

=> f(x) cùng dấu với hệ số a với ∀x.

e) y = f(x) = +6x+9

Δ = 0; f(x) có nghiệm kép x₁ = x₂ = -3

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 ∀x ∈ R\{-3}

=> f(x) cùng dấu với hệ số a với x ≠ -3.

g) y = f(x) = +6x+8

Δ>0; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x₁ = -4 và x₂ = -2.

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 khi x ∈ (−∞;−4)∪(−2;+∞)

=> f(x) cùng dấu với hệ số a với x < -4 hoặc x > -2.

Bài 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai:

a. f(x) = 2−3x−2 

b. g(x) = −+2x−3

Giải rút gọn: 

a. f(x) = 2−3x−2 có: Δ = 25 > 0, có hai nghiệm phân biệt là x₁ = và x₂ = -2.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (−∞;  −12 ) ∪ (−12 ; +∞ ) và f(x) < 0 khi x ∈ (− ; 2). 

b. g(x) = −+2x−3 có: Δ = −8 < 0 và a = -1 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy g(x) < 0 với ∀x ∈ R.

Bài 3: Xét dấu của tam thức bậc hai h(x)=−0,006+1,2x−30 trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu.

Giải rút gọn: 

y = h(x) = −0,006+1,2x−30 có: Δ = > 0 nên h(x) có hai nghiệm phân biệt là:

x₁ = 

x₂ = 

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu khi x ∈ (100−;100+) và thấp hơn mặt cầu khi x ∈ (−∞;100−)∪(100+;+∞)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a. 4+3x+1

b. +3−1

c. 2+4x−1

Giải rút gọn: 

Đa thức 4+3x+1 và 2+4x−1 là tam thức bậc hai

Bài 2. Xác định giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai.

a. (m+1)+2x+m

b. m+2−x+m

c. −5+2x−m+1

Giải rút gọn: 

a. (m+1)+2x+m là tam thức bậc hai a ≠ 0 ó m+1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1

b. m+2x²−x+m là tam thức bậc hai ó m = 0

c. −5+2x−m+1 là tam thức bậc hai với ∀m.

Bài 3. Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Giải rút gọn: 

a. f(x) = +1,5x−1 có Δ => 0 

f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = −2 ; x₂  = và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (−∞;) và (−2;+∞) và < 0 khi x ∈ (;−2). 

b. g(x) = x²+x+1 có Δ = −3 < 0 và a = 1 > 0. 

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy g(x) dương với ∀x ∈ R

c. h(x) = −9x²−12x−4 có Δ = 0

h(x) có nghiệm kép là x_o= và a = -9  < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy h(x) < 0 với ∀x ≠

d. f(x) = −0,5x²+3x−6 có Δ = −3<0 và a =-0,5. 

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) < 0 với ∀x ∈ R

e. g(x) = −x²−0,5x+3 có Δ = > 0

g(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = −2 ; x₂ = và a = -1 < 0

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy g(x) > 0 khi x ∈ (−∞;−2) và (;+∞) và < 0 khi x ∈ (−2; ).

g. h(x) = x²+2x+2 có Δ = 0, h(x) có nghiệm kép là x_o = − và a = -9 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) < 0 với ∀x ≠ -

Bài 4. Xét dấu của tam thức bậc hai sau đây

a. f(x) = 2x²+4x+2

b. f(x) = -x²+2x+21

c. f(x) = −2x²+x−2

d. f(x) = −4x(x+3)−9

e. f(x) = (2x+5)(x−3)

Giải rút gọn: 

a. f(x) = 2x²+4x+2

Δ = 0. Và đa thức có nghiệm x = = -1 và a = 2 > 0 

=> f(x) luôn dương với mọi x ≠ -1

b. f(x) = -x²+2x+21

Δ = 256 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 x₁ = x₂ và a = -1 < 0 

=> f(x) mang dấu âm khi x nằm trong khoảng (; 3) và mang dấu dương với ∀ x nằm ngoài khoảng (; 3)

c. f(x) = −2x²+x−2

Δ = -12< 0 và a = -2 < 0 

=> f(x) luôn âm với ∀x

d. f(x) = -4x² - 12x -9.

Δ = 0 nên phương trình có nghiệm kép là x = -1,5 và a = -4

⇒ f(x) mang dấu âm với mọi x ≠ -1,5

e. f(x) = 2x² - x - 15. 

Δ = -119 < 0 và a = 2 > 0 

=> f(x) luôn mang dấu dương với ∀x

Bài 5. Độ cao ( tính bằng mét) của quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng theo hàm số h(x) = −0,1x²+x−1. Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ, và ngang vành rổ. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười. 

Giải rút gọn: 

h(x) = −0,1x²+x−1 có: 

Δ = 0,6 > 0 nên sẽ có hai nghiệm phân biệt: x₁ = 9, x₂ = 1. và a = -0,1 < 0

Vậy :

• Bóng nằm cao hơn vành rổ khi bóng nằm trong khoảng (1;9)

• Bóng nằm thấp hơn vành rổ khi bóng nằm trong khoảng (-∞; 1) và (9; +∞)

• Bóng nằm ngang vành rổ khi bóng ở độ cao 1m hoặc 9m

Bài 6. Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20cm và chiều rộng 15cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước (20+x) và (15−x) cm. Với x nằm trong khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi. 

Giải rút gọn: 

Diện tích của khung dây thép khi chưa uốn là: 20.15 = 300 (cm²)

Diện tích của khung dây thép khi đã uốn là: (20+x).(15−x) = 300−5x−x².

Theo giả thuyết ta có: f(x) = 300 - 300 - 5x + x². 

Δ = 5² - 4.1.0 = 25 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x₁ = ; x₂ = = 0 và có a = 1 > 0. 

⇒ Diện tích khung hình giảm đi khi x ∈ (-5;0) 

⇒ Diện tích khung hình tăng lên khi x ∈ (-∞; -5) và (0 ; +∞) 

⇒ Diện tích khung hình không thay đổi khi x = 0 hoặc x = -5 

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có: 9m²+2m > −3

Giải rút gọn: 

Xét hàm số f(m) = 9m²+2m+3. Ta có Δ = 2²−4.9.3 = −104 < 0 và có a = 9 > 0. Nên f(m) > 0 với mọi m nghĩa là 9m²+2m > 3

Bài 8. Tìm giá trị của m để :

a. 2x²+3x+m+1>0 với mọi x ϵ R

b. mx²+5x−3 ≤ 0 với mọi x ϵ R

Giải rút gọn: 

a. 2x²+3x+m+1 

Δ = 3²−4.2(m+1) = 1−8m và a = 2 > 0 

Để 2x²+3x+m+1>0 với ∀x ∈ R thì Δ < 0 

⇒ 1−8m < 0 ⇒ m > 18

b. mx²+5x−3  

Δ = 5²−4.m.(−3) = 25+12m. Để mx²+5x−3 ≤ 0 với ∀x ∈ R 

=> Δ < 0  và m < 0 ⇒ m<