BÀI 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

KHỞI ĐỘNG

Cầu vòm được thiết kế với thanh vòm hình Parabol và mặt cầu ở đi ở giữa. Trong hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, phương trình của vòm cầu 

y = h(x) = −0,006x2+1,2x−30. Với giá trị h(x) như thế nào tại vị trí x(0≤x≤200), vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu?

Giải nhanh: 

• h(x) > 0 thì vòm cầu cao hơn mặt cầu
• h(x) < 0 thì vòm cầu thấp hơn mặt cầu.

1. TAM THỨC BẬC HAI

Bài 1: Đồ thị của hàm số y = f(x) = − x2+x+3 được biểu diễn trong Hình 1.

a. Biểu thức f(x) là đa thức bậc mấy?

b. Xác định dấu của f(2).

Giải nhanh: 

a. Bậc hai.

b. f(2)=− 2²+2+3=1 > 0

=> f(2) mang dấu dương

Bài 2. Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1.

a.  f(x) = −2x2+x−1

b.  g(x) = −x4+2x2+1

c. h(x) = −x2+2.x−3

Giải nhanh: 

a. Biểu thức f(x)=−2x2+x−1 là một tam thức bậc hai.

f(1)= -2 < 0 => f(x) âm tại x =  1

b. Biểu thức g(x)= −x4+2x2+1  không là tam thức bậc hai.

c. h(x)=− x2+2.x−3 là tam thức bậc hai. 

h(1)≈ −2,6 < 0 => h(x) âm tại x = 1.

Bài 3: Tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai sau:

a. y=f(x)=2x2−5x+2

b. y=g(x)=− x2+6x−9

c. y=h(x)=4x2−6x+9

Giải nhanh: 

a. Tam thức bậc hai  y=f(x)=2x2−5x+2 có: 

Δ=9 >0

⇒ f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

x1=2 và x2=1

b. Tam thức bậc hai  y=g(x)=−x2+6x−9 có: 

Δ=0 

⇒ g(x) có nghiệm kép là: x₁=x₂=3

c. Tam thức bậc hai  y=h(x)=4x2−4x+9 có: 

Δ=−128 < 0 

⇒ g(x) vô nghiệm

2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Bài 1: Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:

Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức Δ.

Các khoảng giá trị của x mà trên đó f(x) cùng dấu với hệ số của x².

Giải nhanh: 

• Hình a: y=f(x)=− x2+2x−2 
  • Vì Δ<0 => f(x) vô nghiệm
  • Có a = -1 < 0; f(x) <0, mọi x∈R
• Hình b: y=f(x)=− x2+2x−1.
  • Vì Δ=0 =>  f(x)  có nghiệm kép  x₁ = x₂ = 1
  • Có a =  -1 <0; f(x) < 0, mọi x∈R \{1}
• Hình c: y = f(x) =− x2+2x+3
  • Vì Δ>0 => f(x) có hai nghiệm phân biệt: x₁ = -1 và x₂ = 3.
  • Có: a = -1 < 0; f(x) < 0  khi x∈(−∞;−1)∪(3;+∞).
• Hình d: y= f(x)= x2+6x+10
  • Vì Δ<0 => f(x) vô nghiệm.
  • Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R
• Hình e: y=f(x)= x2+6x+9
  • Vì Δ=0 => f(x) có nghiệm kép  x₁ = x₂ = -3
  • Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R\{-3}
• Hình g: y=f(x)= x2+6x+8
  • Δ>0; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x₁ = -4 và x₂ = -2.
  • Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 khi x∈(−∞;−4)∪(−2;+∞)

Bài 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai:

a. f(x)=2x2−3x−2 

b. g(x)=− x2+2x−3

Giải nhanh: 

a. f(x) dương trong khoảng (−∞;  −12 ) ∪ (−12 ; +∞ ) và âm trong khoảng (−12 ; 2). 

b. g(x) âm với mọi x∈R.

Bài 3: Xét dấu của tam thức bậc hai h(x)=−0,006x2+1,2x−30 trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu.

Giải nhanh: 

y=h(x)=−0,006x2+1,2x−30  có: Δ=1825 > 0 hai nghiệm phân biệt là:

x₁ = -1,2+325-3250=100-502

x₂ = -1,2-325-3250=100+502

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu khi x∈(100−502;100+502) và thấp hơn mặt cầu khi x∈(−∞;100−502)∪(100+502;+∞)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a. 4x2+3x+1

b. x3+3x2−1

c. 2x2+4x−1

Giải nhanh: 

a.  4x2+3x+1 là tam thức bậc hai có a = 4; b = 3; c = 1

c. 2x2+4x−1 là tam thức bậc hai có a = 2; b = 4; c = -1

Bài 2. Xác định giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai.

a. (m+1x2)+2x+m

b. mx3+2x2−x+m

c. −5x2+2x−m+1

Giải nhanh: 

a. m≠−1

b. m=0

c. Mọi m

Bài 3. Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Giải nhanh: 

a.  f(x) dương trong hai khoảng (−∞;12) và (−2;+∞) và âm trong khoảng (12;−2). 

b.  g(x) dương với mọi x∈R

c.  h(x) âm với mọi x ≠ -23

d. f(x) âm với mọi x∈R

e. g(x) dương trong hai khoảng (−∞;−2) và (32;+∞) và âm trong khoảng (−2; 32).

g. h(x) âm với mọi x≠-2

Bài 4. Xét dấu của tam thức bậc hai sau đây

a. f(x) = 2x²+4x+2

b. f(x) = -x²+2x+21

c. f(x) = −2x²+x−2

d. f(x) = −4x(x+3)−9

e. f(x) = (2x+5)(x−3)

Giải nhanh: 

a. Δ =  0. Và đa thức có nghiệm kép x= -42.2 = -1

Mặt khác a= 2 > 0 nên f(x) luôn dương với mọi x khác -1

b. Δ = 2² - 4(-3).21 = 256 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : 

x₁= -2-2562.(-3)=3; x₂=-73và a= -1 < 0 

=> f(x) mang dấu âm khi x nằm trong khoảng (-73; 3) và mang dấu dương với mọi x nằm ngoài khoảng (-73; 3)

c. Δ = (−2)² - 4(-2)(-2)= -12< 0 và a= -2 < 0 

=> f(x) luôn âm với mọi x

d. f(x)= -4x² - 12x -9.

Δ = (−12)² - 4(-4)(-9) = 0 nên có nghiệm kép là x = -1,5 và a= -4

⇒ f(x) mang dấu âm với mọi x khác -1,5

e. f(x) = 2x² - x - 15. 

Δ = (−1)² - 4.2.15= -119 < 0, và a= 2 > 0 

=> f(x) luôn mang dấu dương với mọi x

Bài 5. Độ cao ( tính bằng mét) của quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng theo hàm số h(x) = −0,1x²+x−1. Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ, và ngang vành rổ. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười. 

Giải nhanh: 

Hàm số h(x) có: Δ = 1² -4(-0,1)(-1) = 0,6 >0 

=> Hàm số h(x) sẽ có hai nghiệm phân biệt : x₁ = 9, x₂ = 1. và a = -0,1<0

Vậy :

• Bóng nằm cao hơn vành rổ khi bóng nằm trong khoảng (1;9)
• Bóng nằm thấp hơn vành rổ khi bóng nằm trong khoảng (-∞; 1) và ( 9; +∞)
• Bóng nằm ngang vành rổ khi bóng ở độ cao 1m hoặc 9m

Bài 6. Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20cm và chiều rộng 15cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước (20+x) và (15−x) cm. Với x nằm trong khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi. 

Giải nhanh: 

Diện tích của khung dây thép khi chưa uốn là : 20.15 = 300 (cm²)

Diện tích của khung dây thép khi đã uốn là : (20+x).(15−x) = 300−5x−x². 

Như vậy diện tích của khung sau khi uốn tùy thuộc vào giá trị của hàm số 

f(x) = 5x+x² 

Xét hàm số f(x) có Δ = 5² - 4.1.0 = 25 > 0 ⇒ có hai nghiệm phân biệt :

x₁ = -5-252.1=-5; x₂ =-5+252.1 = 0 và có a = 1 > 0. Nên :

• f(x) mang dấu dương khi x thuộc (-5;0) ⇒ Diện tích khung hình sau khi uốn nhỏ hơn trước khi uốn 
• f(x) mang dấu âm khi x thuộc (-∞; -5) và (0 ; +∞) ⇒ Diện tích khung hình sau khi uốn lớn hơn trước khi uốn 
• f(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = -5 ⇒ Diện tích khung hình sau khi uốn và trước khi uốn là không thay đổi

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có : 9m²+2m>−3

Giải nhanh: 

Xét hàm số f(m) =  9m²+2m+3: 

Δ = 2²−4.9.3=−104 < 0 và có a = 9>0. 

=> f(m) > 0 với mọi m nghĩa là 9m²+2m>3

Bài 8. Tìm giá trị của m để :

a. 2x²+3x+m+1>0 với mọi x ϵ R

b. mx²+5x−3 ≤ 0 với mọi x ϵ R

Giải nhanh: 

a. Hàm số 2x²+3x+m+1 có Δ = 1−8m. và a= 2 > 0 nên: 

Để 2x²+3x+m+1>0 với mọi x ϵ R thì Δ < 0 ⇒ m>18

b. Xét hàm số mx²+5x−3  có: Δ =25+12m

Để mx²+5x−3 ≤ 0 với mọi x ϵ R thì Δ < 0  và m < 0 ⇒ m<  -25 12