BÀI 1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTO

KHỞI ĐỘNG

Hãy tìm cách xác định vị trí của các quân mã trên bàn cờ vua.

Giải nhanh: 

Gắn bàn cờ vua với hệ trục tọa độ Oxy => Các quân mã có tọa độ (x; y)

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Bài 1: Hãy nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của i  trên trục Ox và j  trên trục Oy (Hình 1).

Giải nhanh: 

Độ lớn của i  = Độ lớn của j ; phương và chiều của hai vectơ vuông góc với nhau.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ a  tùy ý. Vẽ OA =a   và gọi A₁, A₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt OA1 = xi , OA2 = yi. Biểu diễn vectơ a  theo hai vectơ i  và j

Giải nhanh:

a=xi+yj

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ OM

Giải nhanh: 

OM = (x;y)

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0).

a. Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

b. Tìm tọa độ của các vectơ OD, OE, OF.

c. Vẽ và tìm tọa độ của hai vectơ đơn vị i , j  lần lượt trên hai trục tọa độ Ox, Oy.

Giải nhanh: 

a.

b) OD = (-1; 4), OE = (0; -3), OF = (5; 0)

c) i = (1; 0), j = (0; 1)

Bài 5: Một máy bay đang cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc 30∘ (Hình 7).

a. Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD.

b. Biểu diễn vectơ vận tốc v  theo hai vectơ i  và j.

c. Tìm tọa độ của v

Giải nhanh: 

a) AB = DC = AC.cos 30^o = 1203 (km)

BC = AD = AC.sin30^o = 120 (km)

b) v = 1203 i + 120j

c) v = (1203; 120)

2. BIỂU ĐỒ TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ a⃗ , b⃗  theo hai vectơ i⃗ , j⃗  như sau: a⃗  = a1i + a2j ; b⃗  =b1i + b2j .

a. Biểu diễn từng vectơ: a + b , a - b , ka   theo hai vectơ I ; J .

b. Tìm a⃗ . b⃗  theo tọa độ của hai vectơ a⃗  và b⃗ .

Giải nhanh: 

a) a + b =  (a1 + b1)i + (a2 + b2)j 

a - b =  (a1 - b1)i + (a2 - b2)j 

ka = ka1i + ka2j

b) a. b = (a1i + a2j)(b1i + b2j) 

= a1b1i2 + a1b2ij + a2.b1ij + a2b2j2 

= a1b1.12 + a1b2.0+ a2.b1.0 + a2b2.12 

= a1b1 + a2b2

Bài 2: Cho hai vectơ m⃗  = (-6; 1), n⃗  = (0; -2)

a. Tìm tọa độ các vectơ m + n; m - n; 10m; -4n

b. Tính các tích vô hướng m. n; (10m).(-4n)

Giải nhanh: 

a) m + n = (-6; -1)

m - n = (-6; 3)

10m = (-60; 10)

-4n = (0; 8)

b) m. n = -2

(10m).(-4n) 0 + 10. 8 = 80

Bài 3: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc v⃗  = (10; -8) (Hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là w⃗  = (3,5; 0). Tìm tọa độ tổng hai vận tốc v⃗  và w⃗ .

Giải nhanh: 

v + w = (13,5; -8)

3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTƠ

Bài 1: Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Từ biểu thức AB = OB - OA, tìm tọa độ vectơ AB theo tọa độ hai điểm A, B.

Giải nhanh: 

Vì A(xA; yA), B(xB; yB) 

 OA = {xA; yA); OB = (xB; yB)

AB = OB - OA = (xB - xA; yB - yA)

Bài 2: Cho E(9; 9); F(8; - 7), G(0; -6). Tìm tọa độ của các vectơ FE; FG; EG

Giải nhanh: 

FE = (xE - xF; yE - yF) = (1; 16)

FG = (xG - xF; yG - yF) = (-8; 1)

EG = (xG - xE; yG - yE) = (-9; -15)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A (x_A; y_A)_; B (x_B; y_B) và C (x_c; y_c). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC.

a. Biểu thị vectơ OM  theo hai vectơ OA  và OB .

b. Biểu thị vectơ OG theo ba vectơ OA; OB  và OC 

c. Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Giải nhanh: 

a)  OM = 12 (OA + OB)

b)  OG = 13 (OA + OB + OC)

c) M(xA+xB2; yA+yB2); G(xA+xB+xC3; yA+yB+yC3)

Bài 4: Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh là Q(7; - 2), R(-4; 9) và S(5; 8).

a. Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.

Giải nhanh: 

a) Ta có: xM = xQ+xS2 = 7+52 = 6; yM = yQ+yS2 = -2+82 = 3

Vậy tọa độ trung điểm M của cạnh QS là M(6; 3)

b) Ta có: xG = xQ+xR+xS3 = 7+(-4)+53 = 83; yG = yQ+yR+yS3 = -2+9+83 = 5

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS là G(83; 5)

Bài 5: Cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a. a  b  a. b = 0  a1b1 + a2b2 = ?

b) a và b cùng phương {a1=tb1 a2=tb2  hay {b1=ka1 b2=ka2   a1b2 - a2b1 = ?

c. a = (a)2 = ?

d. AB = (xB - xA; yB - yA)  AB = (AB)2 = ?

e. cos(a, b) = a.b|a|.|b| = ?a12+a22.b12+b22 (a, b khác 0).

Giải nhanh: 

a) a1b1 + a2b2 = 0

b)  a1b2 - a2b1 = 0

c) a = (a)2 = a12+a22

d) AB = (AB)2 = (xB-xA)2+(yB-yA)2

e) cos(a, b) = a.b|a|.|b| = a1b1+a2b2a12+a22.b12+b22 (a, b khác 0)

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh là D(2; 2), E(6;2) và F(2;6).

a. Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D.

b. Giải tam giác DEF.

Giải nhanh: 

a) Xét điểm H(x; y), ta có: DH = (x - 2; y - 2), EH = (x - 6; y - 2), EF = (-4; 4)

H(x; y) là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D, nên ta có:

• DH. EF  (x - 2).(-4) + (y - 2). 4 = 0  -4x + 4y = 0 (1)
• Hai vectơ EH, EF cùng phương 

(x - 6). 4 - (y - 2). (-4) = 0  4x + 4y - 32 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: {-4x+4y=0; 4x+4y-32=0  

 {x=4; y=4 

Vậy H(4; 4)

b) Ta có: DE = (4; 0); DF = (0; 4); EF = (-4; 4)
 

DE = |DE| = 4

DF = |DF| = 4

EF = |EF| = 42
 

cosD = cos(DE, DF) = DE.DFDE.DF = 0  D = 90°

Nhận thấy tam giác DEF vuông cân tại D  E = F = 45°

Bài 7: Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ B(50; 30) và C(32; -23). Một con tàu đang neo đậu tại điểm A(-10; 20).

a. Tính số đo của BAC

b. Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Giải nhanh: 

a) Ta có: AB = (60; 10), AC = (42; -43), BC = (-18; -53)

Suy ra: AB = |AB| 60,8

            AC = |AC|  60,1

           cosBAC = cos(AB, AC)= AB.ACAB.AC  0,57  BAC  55°7'

b) AB  60,8 km; AC  60,1 km

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Trên trục (O; e ) cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0.

a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.

b. Hai vectơ AB và CD cùng hướng hay ngược hướng.

Giải nhanh: 

a.

b.  AB và CD  ngược hướng nhau

Bài 2: Chứng minh rằng:

a.  a = (4; -6) và b  = (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng

b. a  = (-2; 3) và b = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng

c. a = (0; 4) và b = (0; -4) là hai vectơ đối nhau

Giải nhanh: 

a. a  = -2b ; a và b  ngược hướng

b. a  = 4b ; a và b  cùng hướng

c. Ta có: a=02+42=4;b=02+(-4)2=4

Nhận thấy: a  = -b  mà |a | = |b | = 4

a  và b  là hai vectơ đối nhau

Bài 3:  Tìm tọa độ các vectơ sau:

a. a  = 2i +7j

b. b  = −i +3j 

c. c  = 4i

d. d  = −9j

Giải nhanh: 
 

a) a = (2,7)

b) b = (-1,3)

c) c = (4,0)

d) d = (0,-9)
 

Bài 4: Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a. Thuộc trục hoành

b. Thuộc trục tung

c. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Giải nhanh: 
 

a. B(4; 0) 

b. C(0; -3) 

c. D(2; 2) 
 

Bài 5: Cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ:

a. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

b. Điểm M' đối xứng với M qua trục Ox;

c. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

d. Điểm M'' đối xứng với M qua trục Oy.

e. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Giải nhanh: 

a) H(x0; 0) 

b) M'(x0; -y0)

c) K(0; y0) 

d) M''(-x0; y0)

e) C(-x0; -y0)

Bài 6: Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).

a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.

c. Giải tam giác ABC.

Giải nhanh: 

a) Xét D(x; y). Ta có: AB = (1; 3); DC = (5 - x; 5 - y)

Để ABCD là hình bình hành <=> AB = DC 

 {5-x=1; 5-y=3   {x=4; y=2 

Vậy D(4; 2)

b) Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

 {xM=xA+xC2; yM=yA+yC2   {xM=2+52; yM=2+52   {xM=72; yM=72 

Vậy M(72; 72)

c) Ta có: AC = (3; 3), BC = (2; 0)

Suy ra:  AB = |AB| = 10

             AC = |AC| = 32

             BC = |BC| =  2

             cosA = cos(AB,AC) = AB.ACAB.AC = 255  A  26°34'

             cosB = cos(BA,BC) = BA.BCBA.BC = -1010  B  108°26'

             cosC = cos(CA,CB) = CA.CBCA.CB = 22  C = 45°

Bài 7: Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c. Giải tam giác ABC

Giải nhanh: 

a. MP = (3; 1); BN = (3 - x_B; 4 - y_B)

Có M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ MP // BC và MP = 12BC = BN ⇒ MPNB là hình bình hành

⇒ MP = BN

⇒ {3=3-xb; 1=4-yb    

⬄{xb=0; yb=3    

=> B(0;3)

Ta có: N là trung điểm của BC nên  

{xc=2xN-xB;yc=2yN-yB   

⬄ {xc=2.3-0;yc=2.4-3    

⬄ {xc=6 ;yc=5 

⇒ C(6; 5)

Ta có: M là trung điểm của AB nên 

 {xA=2xM-xB ;yA=2yM-yB  

⬄{xA=2.2-0; yA=2.2-3  

⬄{xA=4;yA=1 

⇒ A(4; 1)

Vậy A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)

b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: 

{xG=xA+xB+xc3; yG=ya+yb+yC3   

⬄{xG=4+0+63; yG=1+3+53   

⬄ {xG=103; yG=3     => G(103; 3)   (1)

Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có:

{xG'=xM+xN+xP3; yG'=yM+yN+yP3   

⬄{xG=2+3+53; yG=2+4+33   

⬄ {xG=103; yG=3     => G’(103; 3)   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ G ≡ G'

Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.

c. Ta có: AB  = (-4; 2); AC  = (2; 4); BC = (6; 2)

Suy ra: AB = |AB | = 25

            AC = |AC | = 25

            BC = |BC | = 210

            cosA = cos(AB , AC )= AB.ACAB.AC=-4.2+2.425.25=0=>A=90°

Xét tam giác ABC có AB = AC (= 25) và A=90°

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒ B=C=45°

Bài 8: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

b. Tính chu vi tam giác OAB.

c. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Giải nhanh: 

a. D nằm trên trục Ox nên D(x; 0) ⇒AD  = (x - 1; -3); BD = (x - 4; -2)

Ta có: DA = DB ⇒ (x−1)²+(−3)² = (x−4)²+(−2)²

⇔ x = 53 => D(53; 0)

b. Ta có: OA  = (1; 3); OB = (4; 2); AB = (3; -1)

Suy ra: OA = |OA | = 10

            OB = |OB | = 25

            AB = |AB | = 10

⇒ Chu vi tam giác OAB là: OA + OB + AB= 210+25

c. Ta có: OA.AB = 1. 3 + 3. (-1) = 0

⇒ OA ⟘ AB 

⇒ SOAB=12.OA.OB=5

Bài 9: Tính góc xen giữa hai vectơ a⃗  và b⃗  trong các trường hợp sau:

a. a  = (2; -3), b = (6; 4)

b. a  = (3; 2); b = (5; -1)

c. a  = (-2; −23), b = (3; 3 )

Giải nhanh: 

a. cos (a;b)= a.ba.b=0=>(a;b) =90°

b. cos (a;b)= a.ba.b=22=>(a;b) =45°

c. cos (a;b)= a.ba.b=-32=>(a;b) =150°

Bài 10: Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Giải nhanh: 

Ta có: AB = (1; 7), DC = (1; 7); AD = (-7; 1)

Nhận thấy: AB=DC ⇒ ABCD là hình bình hành 

mà |AB| = |AD| hay AB = AD ⇒ ABCD là hình thoi             (1)

Ta có: AB.AD=0=> AB ⊥ AD ⊥ AD                     (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ ABCD là hình vuông (đpcm)

Bài 11: Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc v  = (-210; -42). Cho biết vận tốc của gió là w = (-12; -4) và một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc v  và w

Giải nhanh: 

Ta có: v + w = (-222; -46)

Độ dài của vectơ tổng hai vận tốc v  và  w là: 

|v + w| = (-222)2+(-46)2 ≈ 227 (km)