BÀI 1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTO

KHỞI ĐỘNG

Bài 1: Hãy tìm cách xác định vị trí của các quân mã trên bàn cờ vua.

Giải rút gọn: 

Hai mã đen có vị trí là (8;b) và (4;e)

Hai mã trắng có vị trí là (3;c) và (3;f)

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Bài 1: Hãy nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của  trên trục Ox và  trên trục Oy (Hình 1).

Giải rút gọn: 

Độ lớn của  bằng độ lớn của , phương và chiều của hai vectơ vuông góc với nhau.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ  tùy ý. Vẽ =   và gọi A₁, A₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt = , = . Biểu diễn vectơ  theo hai vectơ  và

Giải rút gọn: 

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ

Giải rút gọn: 

= {x;y}, trùng với tọa độ điểm M

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0).

a. Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.

b. Tìm tọa độ của các vectơ , , .

c. Vẽ và tìm tọa độ của hai vectơ đơn vị ,  lần lượt trên hai trục tọa độ Ox, Oy.

Giải rút gọn: 

a.

b) = (-1; 4), = (0; -3), = (5; 0)

c) = (1; 0), = (0; 1)

Bài 5: Một máy bay đang cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc 30∘ (Hình 7).

a. Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD.

b. Biểu diễn vectơ vận tốc  theo hai vectơ  và .

c. Tìm tọa độ của

Giải rút gọn: 

a) AB = DC = AC.cos = 240.cos30^o = 120 (km) 

BC = AD = AC.sin = 240.sin30^o = 120 (km)

b) = 120 + 120

c) = (120; 120)

2. BIỂU ĐỒ TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ a⃗ , b⃗  theo hai vectơ i⃗ , j⃗  như sau: a⃗  = + ; b⃗  = + .

a. Biểu diễn từng vectơ: + , - , k   theo hai vectơ ; .

b. Tìm a⃗ . b⃗  theo tọa độ của hai vectơ a⃗  và b⃗ .

Giải rút gọn: 

a) + = + + + = ( + ) + ( + ) 

- = + - - = ( - ) + ( - ) 

k = k( + ) = k + k

b). = ( + )( + ) 

= . + . + . + .

= + + . +  

= +

Bài 2: Cho hai vectơ m⃗  = (-6; 1), n⃗  = (0; -2)

a. Tìm tọa độ các vectơ + - ; 10-4

b. Tính các tích vô hướng . (10).(-4)

Giải rút gọn: 

a)

b) . = -2                                               (10).(-4) = 80

Bài 3: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc v⃗  = (10; -8) (Hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là w⃗  = (3,5; 0). Tìm tọa độ tổng hai vận tốc v⃗  và w⃗ .

Giải rút gọn: 

Tọa độ của tổng hai vận tốc là: + = (13,5; -8)

3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTƠ

Bài 1: Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Từ biểu thức = - , tìm tọa độ vectơ theo tọa độ hai điểm A, B.

Giải rút gọn: 

= {; ); = (; )

=> = - = ( - ; - )

Bài 2: Cho E(9; 9); F(8; - 7), G(0; -6). Tìm tọa độ của các vectơ

Giải rút gọn: 

= ( - ; - ) = (1; 16)

= ( - ; - ) = (-8; 1)

= ( - ; - ) = (-9; -15)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A (x_A; y_A)_; B (x_B; y_B) và C (x_c; y_c). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC.

a. Biểu thị vectơ  theo hai vectơ  và .

b. Biểu thị vectơ theo ba vectơ

c. Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Giải rút gọn: 

a) = (M là trung điểm AB)

= ( + )

b) Vì G là trọng tâm △ABC nên 3 = + +

= ( + + )

c) M(; ); G(; )

Bài 4: Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh là Q(7; - 2), R(-4; 9) và S(5; 8).

a. Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.

Giải rút gọn: 

a) =  = 6; =  = 3 => M(6; 3)

b) =  = ; = = 5 => G(; 5)

Bài 5: Cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a. . = 0 + = ?

b. và cùng phương hay - = ?

c. = =

d. = ( - ; - ) AB = =

e. cos(, ) = = (, khác ).

Giải rút gọn: 

a) . = 0 + = 0

b) và cùng phương hay - = 0

c) = = ;

d) = ( - ; - ) AB = = ;

e) cos(, ) = = (, ≠ ).

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh là D(2; 2), E(6;2) và F(2;6).

a. Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D.

b. Giải tam giác DEF.

Giải rút gọn: 

a) Xét H(x; y), ta có: = (x - 2; y - 2), = (x - 6; y - 2), = (-4; 4)

H(x; y) là chân đường, nên: . (x - 2).(-4) + (y - 2). 4 = 0 -4x + 4y = 0 

, cùng phương (x - 6). 4 - (y - 2). (-4) = 0 4x + 4y - 32 = 0 

Ta có hệ phương trình:

Vậy H(4; 4)

b) = (4; 0); = (0; 4); = (-4; 4)

DE = = 4 ; DF = = 4 ; EF =

cosD = cos(, ) = = 0 =

Vậy △DEF vuông cân tại D = =

Bài 7: Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ B(50; 30) và C(32; -23). Một con tàu đang neo đậu tại điểm A(-10; 20).

a. Tính số đo của

b. Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Giải rút gọn: 

a) Ta có: = (60; 10), = (42; -43), = (-18; -53)

AB = ||  = 60,8 ; AC = ||  60,1

cos = cos(, ) = 0,57

b) Khoảng cách từ vị trí của con tàu tới đảo B là 60,8 km và tới đảo C là 60,1 km.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:  Trên trục (O; ) cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0.

a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.

b. Hai vectơ và cùng hướng hay ngược hướng.

Giải rút gọn: 

a.

b. Ngược hướng nhau.

Bài 2: Chứng minh rằng:

a. a⃗  = (4; -6) và b⃗  = (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.

b. a⃗  = (-2; 3) và b⃗  = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.

c. a⃗  = (0; 4) và b⃗  = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.

Giải rút gọn: 

a. a⃗  = -2b⃗  ⇒ a⃗  và b⃗  ngược hướng.

b. a⃗  = 4b⃗  ⇒ a⃗  và b⃗  cùng hướng.

c. Ta có:

a⃗  = -b⃗  mà |a⃗ | = |b⃗ | = 4  ⇒ a⃗  và b⃗  là hai vectơ đối nhau.

Bài 3:  Tìm tọa độ các vectơ sau:

a. a⃗  = 2i⃗ +7j⃗ ;

b. b⃗  = −i⃗ +3j⃗ ;

c. c⃗  = 4i⃗ ;

d. d⃗  = −9j⃗ .

Giải rút gọn: 

a) = (2; 7);

b) = (-1; 3);

c) = (4; 0);

d) = (0; -9)

Bài 4: Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a. Thuộc trục hoành;

b. Thuộc trục tung;

c. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Giải rút gọn: 

a. B(4; 0) 

b. C(0; -3) 

c. D(2; 2) 

Bài 5: Cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ:

a. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

b. Điểm M' đối xứng với M qua trục Ox;

c. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

d. Điểm M'' đối xứng với M qua trục Oy.

e. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Giải rút gọn: 

a) H(; 0) 

b) Vì điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ điểm M và M’ bằng nhau, còn tung độ điểm M bằng và tung độ điểm M’ đối nhau. 

Vậy M'(; ).

c) K(0; ) 

d) Vì điểm M’’ là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm M’’ bằng tung độ của điểm M, còn hoành độ điểm M’’ và hoành độ điểm M là hai số đối của nhau. Do đó tọa độ điểm M’’ là (-x₀; y₀). 

Vậy M''(; ).

e) Vì điểm C đối xứng với M qua gốc tọa độ nên hoành độ và tung độ của điểm C là số đối của lần lượt hoành độ và tung độ của điểm M. 

Vậy C(; ).

Bài 6: Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).

a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.

c. Giải tam giác ABC.

Giải rút gọn: 

a) Xét D(x; y). Ta có: = (1; 3); = (5 - x; 5 - y)

Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi =  

Vậy D(4; 2)

b) Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

Vậy M(; )

c) Ta có: = (3; 3), = (2; 0)

AB = ||  = ; AC = || = ; BC = ||  = 2

cosA = cos(,) =  =

cosB = cos(,) =  =

cosC = cos(,) =  = =

Bài 7: Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c. Giải tam giác ABC

Giải rút gọn: 

a. = (3; 1) = (3 - x_B; 4 - y_B)

Có M, P là trung điểm cạnh AB, AC nên MP là đường trung bình của △ABC

⇒ MP // BC và MP = BC = BN ⇒ MPNB là hình bình hành

⇒ =

  =>  B(0;3)

+) N là trung điểm của BC nên 

  =>  C(6; 5)

+) M là trung điểm của AB nên 

  => A(4; 1)

b. Gọi G là trọng tâm △ABC, ta có: 

⬄  => G(;  

Gọi G' là trọng tâm △MNP, ta có:

⬄)  => G’(; )

 ⇒ G ≡ G'

Hay trọng tâm △ABC trùng với trọng tâm △MNP.

c. Ta có:  = (-4; 2);  = (2; 4); = (6; 2)

AB = | | ; AC = | | ; BC = | |

cosA = cos( , )=

Xét △ABC có: AB = AC (= ) và

⇒ △ABC vuông cân tại A ⇒

Bài 8: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

b. Tính chu vi tam giác OAB.

c. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Giải rút gọn: 

a. D nằm trên trục Ox nên D(x; 0) ⇒  = (x - 1; -3); = (x - 4; -2)

Ta có: DA = DB ⇒ (x−1)²+(−3)² = (x−4)²+(−2)²

⇔ x² - 2x + 1 + 9 = x² - 8x + 16 + 4 ⇔ x =

Vậy D(; 0)

b. Ta có:  = (1; 3); = (4; 2); = (3; -1)

OA = | | ; OB = | | ; AB = | |

⇒ Chu vi △OAB là: OA + OB + AB =

c. Ta có: = 1. 3 + 3. (-1) = 0 ⇒  

⇒Diện tích △SAB là:

Bài 9: Tính góc xen giữa hai vectơ a⃗  và b⃗  trong các trường hợp sau:

a. a⃗  = (2; -3), b⃗  = (6; 4)

b. a⃗  = (3; 2); b⃗  = (5; -1)

c. a⃗  = (-2; −2), b⃗  = (3; )

Giải rút gọn: 

a. cos (

b. cos (

c. cos (

Bài 10: Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Giải rút gọn: 

Ta có: = (1; 7), = (1; 7); = (-7; 1)

  ⇒ ABCD là hình bình hành 

mà || = || (vì cùng = 5) hay AB = AD ⇒ ABCD là hình thoi          

Ta có: ⊥ AD                     

⇒ ABCD là hình vuông (đpcm)

Bài 11: Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc v⃗  = (-210; -42). Cho biết vận tốc của gió là w⃗  = (-12; -4) và một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc v⃗  và w⃗ 

Giải rút gọn: 

Ta có: + = (-222; -46)

Độ dài của vectơ tổng hai vận tốc  và  là: 

| + | = = 227 (km)