BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

KHỞI ĐỘNG

Các hàm số này có chung đặc điểm gì?

Giải rút gọn: 

Các hàm số này đều là hàm số bậc hai.

1. HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?

a. y = 2x(x - 3);              b. y = x(x² + 2) - 5;                    c. y = -5(x + 1)(x - 4).

Giải rút gọn: 

a. y = 2x² - 6x                  b. y = x³ + 2x - 5                   c. y = -5x² + 15x + 20

Hàm số a , c là hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc 2

Bài 2: Hàm số nào trong các hàm số được cho ở Khám phá 1 là hàm số bậc hai?

Giải rút gọn: 

Hàm số bậc hai : y = 2x² - 6x ; y = -5x² + 15x + 20

2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: 

a. Xét hàm số y = f(x) = - 8x + 19 = + 3 có bảng giá trị:

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; f(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 1).

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số y = trên Hình 1.

b. Tương tự xét hàm số: y = g(x) = - + 8x -13 = - + 3 có bảng giá trị: 

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; g(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 2).

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị của hàm số y = - trên Hình 2.

Giải rút gọn: 

a.

Hình dạng của đồ thị giống với hình dạng của hàm số y = x² 

b.

Hình dạng của đồ thị giống với hình dạng của hàm số y = - x²

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x² -  4x + 3 rồi so sánh đồ thị hàm số này với đồ thị hàm số trong ví dụ 2a. Nêu nhận xét về hai đồ thị này.

Giải rút gọn: 

+) Đỉnh S(2; -1) ; trục đối xứng là đường thẳng x = 2 

+) Cắt Oy tại điểm ( 0; 3) ; cắt Ox tại 2 điểm ( 1; 0) và ( 3; 0)

+) a > 0 => bề lõm quay lên trên

Ta được đồ thị như sau:

So sánh với đồ thị hàm số ví dụ 2a :

+) Hai đồ thị đều là đường cong parabol, có trục đối xứng là x = 2

+) Hai tọa độ đỉnh đối xứng qua Ox

+) Đồ thị hàm số này có bề lõm hướng lên, ví dụ 2a hướng xuống

3. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: Từ đồ thị hàm số bậc hai cho ở hai hình sau, tìm khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số trong mỗi trường hợp.

Giải rút gọn: 

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (; +) và nghịch biến trên khoảng (-; ) 

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (; +) và đồng biến trên khoảng (-; ) 

Bài 2: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = 2 - 6x + 11. Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?

Giải rút gọn: 

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên khoảng (; +) và nghịch biến trên khoảng (-; ) 

Giá trị nhỏ nhất bằng khi x = => hàm số này không thể đạt giá trị y = -1 

4. ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên).

a. Vận tốc xuất phát của cầu là 12m/s.

b. Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3m.

Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông đơn được cho như Hình 11.

Giải rút gọn:

a) Phương trình quỹ đạo của cầu là: y = x² + x + 0,7 (x 0)

hay y = x² + x + 0,7 (với x 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là : x² + x + 0,7 = 0 =>  x₁ 13,84 ; x₂ -1,11

13,84m > chiều dài sân 13,4m => phát cầu không hợp lệ

b) Phương trình quỹ đạo của cầu là: y = x² + x + 1,3 (với x 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là : x² + x + 1,3 = 0 =>  x₁ 7,38 ; x₂ -1,73

Khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4m => vị trí cầu rơi cách lưới 3,38m

=> phát cầu hợp lệ.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) y = 9x² + 5x + 4                                                   b) y = 3x³ + 2x + 1

c) y = -4.(x+2)³ + 2.(2x³+1) + 5                               d) y = 5x² + + 2

Giải rút gọn: 

a) y = 9x² + 5x + 4  là hàm số bậc hai

c) y =  -4.(x³+6x² + 12x+8) + 4x³ + 2 + 5 = -24x² – 48x – 25 => hàm số bậc hai

Bài 2. Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai.

a. y =  m + (m + 1) + x + 3                    b. y = (m - 2) + (m - 1) + 5

Giải rút gọn: 

a. m = 0 ; m + 1 ≠ 0 ⬄ m = 0 ; m ≠ -1 ⬄ m = 0

b. m -2 = 0; m – 1 ≠ 0 ⬄ m = 2 ; m ≠ 1 ⬄ m = 2

Bài 3. Lập bảng biến thiên của hàm số y = + 2x + 3. Hàm số có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Giải rút gọn: 

 Bảng biến thiên :

 x = -1 => hàm số đạt giá trị nhỏ nhất = 2 

Bài 4. Cho hàm số bậc hai y = f(x) = a + bx + c có f(0) = 1; f(1) = 2; f(2) = 5.

a. Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.

b. Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Giải rút gọn: 

a. ⬄

b. Bảng biến thiên :

Tập giá trị  T = [1; +∞). 

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞ ) ; nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) 

Bài tập 5. Cho hàm số y = 2 + x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Giải rút gọn: 

Bảng biến thiên:

Giá trị nhỏ nhất bằng 5 ⬄ = 5 ⬄ m =

Bài 6. Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a. y = 2 + 4x – 1                                        b. y = -  + 2x + 3

c. y = -3 + 6x                                             d. y = 2 - 5

Giải rút gọn: 

a) Đỉnh S(-1; -3) ; trục đối xứng x = -1 ; 

   Đồ thị hàm số cắt Oy tại A và B .

b. Đỉnh S ( 1; 4) ; trục đối xứng x = 1; đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0; 3)

   Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm ( 3;0) và ( -1; 0)

c) Đỉnh S( 1; 3); trục đối xứng x = 1; đồ thị hàm số đi qua gốc O

   Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm ( 2; 0) và ( 0; 0)

d. Đỉnh S ( 0; -5) ; trục đối xứng x = 0 ; 

   Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm  (; 0) và (; 0)

Bài 7. Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12. 

(P1) = -2 - 4x + 2;                                      (P2) = 3  - 6x + 5;

(P3) = 4  - 8x + 7;                                      (P4) = -3  - 6x - 1.

Giải rút gọn: 

+) (P1) = -2  - 4x + 2 

   a = -2 < 0 => đồ thị có bề lõm hướng xuống.

   Đỉnh S( -1; 4) ⇒ (P1) là parabol màu xanh lá.

+) (P2) = 3  - 6x + 5

   a = 3 > 0 => đồ thị có bề lõm hướng lên trên

    Đỉnh S( 1; 2) => (P2) là parabol màu xanh dương.

+) (P3) = 4  - 8x + 7

   a = 4 > 0 => (P3) có bề lõm hướng lên trên

   Đỉnh S( 1; 3) => (P3) là parabol màu đỏ

=> (P4) là parabol màu vàng

Bài 8. Tìm công thức của hàm số đồ thị bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Giải rút gọn: 

Hàm số có dạng y = ax² + bx  + c

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1; 0) ; (1,5; -6,25); ( 4;0)

=> y = x² - 3x - 4

Bài 9. Chiếc cầu văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai bên. Biết:

• Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

• Nhịp cầu dài 30m.

• Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Giải rút gọn: 

Hàm số có dạng: y = ax² + bx + c

Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(0; 0,8), B(-15; 5), C(15; 5) 

=>  (P): y =  +

Khoảng cách giữa các dây là 15 : 10 = 1,5 (m).

Ta có bảng sau:

Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là: 

[4.(0,842 + 0,968 + 1,178 + 1,472 + 1,85 + 2,312 + 2,858 + 3,488 + 4,202 + 5) + 2. 0,8]. 105% = 103,194(m)