CHƯƠNG III. HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

1. HÀM SỐ BẬC HAI

HĐKP1

a) y = 2x$^{2}$ - 6x           

b) y = x$^{3}$ + 2x - 5                   

c) y = -5x$^{2}$ + 15x + 20

Hàm số a và c có lũy thừa cao nhất của x là bậc hai.

Hàm số a. y = 2x$^{2}$ - 6x và hàm số c. y = -5x$^{2}$ + 15x + 20 là hàm số bậc hai.

=> Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax$^{2}$ +  bx +c với a, b, c là các số thực và a khác 0.

Tập xác định của hàm số bậc hai là R.

Ví dụ 1: SGK – tr49

Thực hành 1:

Hàm số a) y = 2x$^{2}$ - 6x và hàm số 

c) y = -5x$^{2}$ + 15x + 20 là hàm số bậc hai.

2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

HĐKP2: 

a)

Đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D (có đồ thị hàm số y = f(x) = x$^{2}$ - 8x + 19) giống với hình dạng của hàm số y = x$^{2}$: đều là parabol, có bề lõm quay lên trên nhưng có đỉnh (4; 3).

b)

Đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D (có ĐTHS y = g(x) = -x$^{2}$ + 8x -13) giống với hình dạng của hàm số y = -x$^{2}$: đều là parabol, có bề lõm quay xuống dưới nhưng có đỉnh (4; 3).

⇒ Một cách tổng quát, sau khi biến đổi 

y = ax$^{2}$ + bx+ c = a.[x - ($\frac{-b}{2a}$)]$^{2}$+($\frac{-∆}{4a}$), với a≠ 0 và ∆=b$^{2}$-4ac, người ta chứng minh được rằng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax$^{2}$+ bx + c có hình dạng là một parabol và có đỉnh S($\frac{-b}{2a}$; $\frac{-∆}{4a}$).

Kết luận:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax$^{2}$ + bx+ c (với a ≠ 0) là một parabol (P).

-  Có đỉnh S với hoành độ x$_{S}$ =$\frac{-b}{2a}$, tung độ y$_{S}$ =$\frac{-∆}{4a}$;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x =$\frac{-b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy nếu b ≠ 0, trùng với trục Oy nếu b = 0).

- Có bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

Chú ý:

a) Nếu b =  2b' thì (P) có đỉnh S($\frac{-b'}{a}$;$\frac{-∆'}{a}$).

b) Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx+ c = 0 có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax$^{2}$ + bx+ c cắt trục hoành tại điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này.

* Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

y = ax$^{2}$ + bx+ c

1) Xác định tọa độ đỉnh S($\frac{-b}{2a}$; $\frac{-∆}{4a}$).

2) Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x =$\frac{-b}{2a}$

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm A(0;c)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).

Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, là điểm B($\frac{-b}{a}$; c)

4) Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

Ví dụ 2: SGK-tr51

Thực hành 2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = x$^{2}$ - 4x + 3 là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ x$_{S}$ = 2, tung độ y$_{S}$= -1;

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

+ Phương trình x$^{2}$ - 4x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biết x$_{1}$= 1 và x$_{2}$ = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (3; 0).

Ta được đồ thị như sau:

* Nhận xét: Hai đồ thị của hàm số đối xứng nhau qua trục hoành, còn hai biểu thức của hai hàm số y = -x$^{2}$ + 4x – 3 và y = x$^{2}$ -4x + 3 là hai biểu thức đối nhau

3. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

HĐKP3.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty $;$\frac{-b}{2a}$) và đồng biến trên khoảng ($\frac{-b}{2a}$; +$\infty $)

b) Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\infty $;$\frac{-b}{2a}$) và nghịch biến trên khoảng ($\frac{-b}{2a}$; +$\infty $)

Kết luận:

Bảng tóm tắt sự biến thiên của hàm số bậc hai y = ax$^{2}$+ bx + c (với a 0)

* Chú ý:

Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy:

+ Khi a > 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-∆}{4a}$ tại x =$\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là T = [$\frac{-∆}{4a}$; +∞)

+ Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng$\frac{-∆}{4a}$ tại x = $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là T = (-∞; $\frac{-∆}{4a}$]

Ví dụ 3: SGK -tr53

Thực hành 3.

Đỉnh S có tọa độ: 

x$_{S}$ =$\frac{-b'}{a}$ =$\frac{3}{2}$; y$_{S}$ =$\frac{(-3)^{2}-2.11}{2}$ =$\frac{13}{2}$

Hay S($\frac{3}{2}$; $\frac{13}{2}$)

Vì hàm số bậc hai có a = 2 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có: hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty $; $\frac{3}{2}$) và nghịch biến trên khoảng ($\frac{-b}{2a}$; +$\infty $)

Hàm số này không thể đạt giá trị y = -1 vì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{13}{2}$ khi x = $\frac{3}{2}$.

4. ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Tầm bay cao và tầm bay xa: SGK-tr54

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0 ; y$_{0}$) là điểm phát cầu thì:

- Phương trình quỹ đạo của quả cầu khi rời khỏi mặt vợt là:

y=$\frac{-gx^{2}}{2v_{0}^{2}\alpha }$ +(tan$\alpha $).x+y$_{0}$

Trong đó:

+ g là gia tốc trọng trường ( thường được chọn là 9,8m/s$^{2}$)

+ $\alpha $ là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất).

+ v$_{0}$ là vận tốc ban đầu của cầu.

+ y$_{0}$ là khoảng cách từ vị trí phát cầu lên đến mặt đất.

- Quỹ đạo chuyển động của quả cầu là một parabol

+ Khi quả cầu đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol => tầm bay cao.

+ Khi cầu rơi chạm dất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng => tầm bay xa.

Bài toán ứng dụng: SGK-tr54

Vận dụng:

a) Với g = 9,8m/s$^{2}$ góc phát cầu  $\alpha $=30$^{\circ}$, vận tốc ban đầu v$_{0}$= 12m/s, y$_{0}$ = 0,7 m, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y = $\frac{-9,8x^{2}}{2.v_{0}^{2}.(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$ x$^{2}$ +$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .x + 0,7 (x $\geq $ 0)

y =$\frac{-4,9}{108}$ x$^{2}$+ $^{2}$ +$\frac{\sqrt{3}}{3}$ x + 0,7 (với x $\geq $ 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là giao điểm của parabol và trục hành nên giải phương trình: 

$\frac{-4,9}{108}$x$^{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{3}$x + 0,7 = 0 ta được x$_{1}\approx $ -1,11 và x$_{2}\approx $13,84.

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84m > chiều dài sân 13,4m nên lần phát cầu không hợp lệ vì cầu rơi ra ngoài đường biên phía bên sân đồi phương.

b) Với g = 9,8m/s$^{2}$ góc phát cầu  $\alpha $=30$^{\circ}$, vận tốc ban đầu v$_{0}$= 8m/s, y$_{0}$ = 1,3 m, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y = $\frac{-4,9}{48}$ x$^{2}$+ $^{2}$ +$\frac{\sqrt{3}}{3}$ x + 1,3 (với x $\geq $ 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là giao điểm của parabol và trục hành nên giải phương trình: 

$\frac{-4,9}{48}$x$^{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{3}$x + 1,3 = 0 ta được x$_{1}\approx $ -1,73 và x$_{2}\approx $7,38..

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,38m.

Với giả thiết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4m thì vị trí cầu rơi cách lưới 3,38m, vẫn trong đường biên phía bên sân đối phương. Do đó, lần phát cầu này là hợp lệ.