Dễ hiểu giải Toán 10 chân trời bài 2: Hàm số bậc hai

Giải dễ hiểu bài 2: Hàm số bậc hai. Trình bày rất dễ hiểu, nên tiếp thu Toán 10 Chân trời dễ dàng. Học sinh nắm được kiến thức và biết suy rộng ra các bài tương tự. Thêm 1 dạng giải mới để mở rộng tư duy. Danh mục các bài giải trình bày phía dưới


Nếu chưa hiểu - hãy xem: => Lời giải chi tiết ở đây

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

KHỞI ĐỘNG

Các hàm số này có chung đặc điểm gì?

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Giải nhanh: 

Có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai

1. HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?

a. y = 2x(x - 3);              b. y = x(BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 2) - 5;                     c. y = -5(x + 1)(x - 4).

Giải nhanh: 

Hàm số a và c 

Bài 2: Hàm số nào trong các hàm số được cho ở Khám phá 1 là hàm số bậc hai?

Giải nhanh: 

Hàm số  y = 2BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI - 6x và hàm số y = -5BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 15x + 20 

2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: 

a. Xét hàm số y = f(x) = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI - 8x + 19 = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 3 có bảng giá trị:

x

2

3

4

5

6

f(x)

7

4

3

4

7

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; f(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 1).

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số y = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI trên Hình 1.

b. Tương tự xét hàm số: y = g(x) = - BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 8x -13 = - BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 3 có bảng giá trị: 

x

2

3

4

5

6

g(x)

-1

2

3

2

-1

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; g(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 2).

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị của hàm số y = - BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI trên Hình 2.

Giải nhanh: 

a.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Hình dạng parabol, có bề lõm quay lên trên.

b.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Hình dạng parabol, có bề lõm quay xuống dưới.

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y =BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  -  4x + 3 rồi so sánh đồ thị hàm số này với đồ thị hàm số trong ví dụ 2a. Nêu nhận xét về hai đồ thị này.

Giải nhanh: 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

3. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: Từ đồ thị hàm số bậc hai cho ở hai hình sau, tìm khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số trong mỗi trường hợp.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Giải nhanh: 

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI) và đồng biến trên khoảng (BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; +BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI)

b) Hàm số đồng biến trên khoảng (-BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI) và nghịch biến trên khoảng (BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; +BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI)

Bài 2: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = 2BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI - 6x + 11. Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?

Giải nhanh: 

Ta có:  S(BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI)

Vì hàm số bậc hai có a = 2 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Từ bảng biến thiên ta có: hàm số nghịch biến trên khoảng (-BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI) và nghịch biến trên khoảng (BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; +BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI)

Hàm số này không thể đạt giá trị y = -1 vì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI khi x = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI.

4. ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 1: Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên).

a. Vận tốc xuất phát của cầu là 12m/s.

b. Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3m.

Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông đơn được cho như Hình 11.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Giải nhanh: 

a) Với g = 9,8m/s2, góc phát cầu BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI =30o, vận tốc ban đầu BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI= 12m/s, BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = 0,7 m, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAIx2 + BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAIx + 0,7 (với x BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là giao điểm của parabol và trục hành nên giải phương trình: 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAIx2 + BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAIx + 0,7 = 0 ta được x1 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI -1,11 và x2 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI13,84.

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84m > chiều dài sân 13,4m nên lần phát cầu không hợp lệ vì cầu rơi ra ngoài đường biên phía bên sân đối phương.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

b) Với g = 9,8m/s2, góc phát cầu BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = 30o, vận tốc ban đầu BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = 8m/s, BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = 1,3 m, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAIx2 + BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAIx + 1,3 (với x BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là giao điểm của parabol và trục hành nên giải phương trình: 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI x2 + BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAIx + 1,3 = 0 ta được x1 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  -1,73 và x2 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI 7,38.

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,38m.

Với giả thiết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4m thì vị trí cầu rơi cách lưới 3,38m, vẫn trong đường biên phía bên sân đối phương. Do đó, lần phát cầu này là hợp lệ.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) y = 9x2 + 5x + 4

b) y = 3x3 + 2x + 1

c) y = -4.(x+2)3 + 2.(2x3+1) + 5 

d) y = 5x2 + BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 2

Giải nhanh: 

c) y = -4.(x+2)3 + 2.(2x3+1) + 5 

= -24x2 – 48x – 25

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI Hàm số cho ở câu a và câu c là hàm số bậc hai.

Bài 2. Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai.

a. y =  mBÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + (m + 1)BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + x + 3

b. y = (m - 2)BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + (m - 1)BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 5

Giải nhanh: 

a. Hàm số y = mBÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + (m + 1)BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + x + 3 là hàm số bậc hai

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI (thỏa mãn)

Vậy m = 0

b. Hàm số y = (m - 2)BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + (m - 1)BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 5 là hàm số bậc hai

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI (thỏa mãn)

Vậy m = 2

Bài 3. Lập bảng biến thiên của hàm số y = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 2x + 3. Hàm số có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó

Giải nhanh: 

Đỉnh S có tọa độ: BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = -1; BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = -  BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = 2

⇔ S(-1; 2)

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = -1.

Bài 4. Cho hàm số bậc hai y = f(x) = aBÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + bx + c có f(0) = 1; f(1) = 2; f(2) = 5.

a. Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.

b. Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Giải nhanh: 

a. Theo bài ra ta có hệ phương trình: BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Vậy hàm số có dạng: y = f(x) = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 1

b. Đỉnh S có tọa độ:   BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI= BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = 0, BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = = 1

⇔ S(0; 1)

Vì hàm số bậc 2 có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Tập giá trị của hàm số là T = [1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞ )

Bài tập 5. Cho hàm số y = 2BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Giải nhanh: 

Đỉnh S có tọa độ: BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Hay S(BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI; BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI)

Vì hàm số bậc hai có a = 2 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI = 5 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI m = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 6. Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a. y = 2BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 4x - 1

b. y = -  BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI+ 2x + 3

c. y = -3BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + 6x 

d. y = 2BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI - 5

Giải nhanh: 

a) 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

b. 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

c.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

d. 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Bài 7. Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12. 

(P1) = -2BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI - 4x + 2;

(P2) = 3BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 6x + 5;

(P3) = 4BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 8x + 7;

(P4) = -3BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 6x - 1.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Giải nhanh: 

  • (P1) = -2BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 4x + 2 

Xét hàm số: y = -2BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 4x + 2 có a = -2 < 0 nên (P1) có bề lõm hướng xuống dưới.

Đỉnh S có tọa độ: BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

⇒ (P1) là parabol màu xanh lá.

  • (P2) = 3BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 6x + 5

Xét hàm số: y = 3BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 6x + 5 có a = 3 > 0 nên (P2) có bề lõm hướng lên trên.

Đỉnh S có tọa độ: BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

⇒ (P2) là parabol màu xanh dương.

  • (P3) = 4BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 8x + 7

Xét hàm số: y = 4BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI  - 8x + 7 có a = 4 > 0 nên (P3) có bề lõm hướng lên trên.

Đỉnh S có tọa độ: BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

⇒ (P3) là parabol màu đỏ.

Còn lại, (P4) là parabol màu vàng.

Bài 8. Tìm công thức của hàm số đồ thị bậc hai có đồ thị như Hình 13.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Giải nhanh: 

Gọi hàm số đồ thị bậc hai cần tìm có dạng y = aBÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + bx  + c

Từ Hình 13 ta thấy, đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1; 0); (4; 0); (1,5; 6,25) nên ta có hệ phương trình sau: BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Vậy hàm số bậc hai cần tìm có dạng y = BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI - 3x - 4

Bài 9. Chiếc cầu văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai bên. Biết:

  • Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

  • Nhịp cầu dài 30m.

  • Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Giải nhanh: 

Ta có:

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Gọi hàm số của (P) có dạng: y = aBÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + bx + c

Ta có: A(0; 0,8), B(-15; 5), C(15; 5) là các điểm thuộc (P) nên ta có hệ phương trình:

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI 

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI (P): y = f(x) =  BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI + BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI

Nhịp cầu dài 30m, khoảng cách giữa các dây bằng nhau, dây ngắn nhất (dây chính giữa) trùng với trục Oy) nên mỗi bên gồm 10 dây, khoảng cách giữa các dây là 1,5 (m).

Ta có bảng sau:

x

1,5

3

4,5

6

7,5

9

10,5

12

13,5

f(x)

0,842

0,968

1,178

1,472

1,85

2,312

2,858

3,488

4,202

Vậy chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là: 

[4.(0,842 + 0,968 + 1,178 + 1,472 + 1,85 + 2,312 + 2,858 + 3,488 + 4,202 + 5) + 2. 0,8]. 105% = 103,194(m)

 

 

 


Nếu chưa hiểu - hãy xem: => Lời giải chi tiết ở đây

Nội dung quan tâm khác

Thêm kiến thức môn học

Bình luận

Giải bài tập những môn khác