BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

KHỞI ĐỘNG

Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng dưới đây.

Giải nhanh: 
 

Đt 1: a = 2; b = -1; c = 3

Đt 2: a = -1; b = -1; c = 1

Đt 3: a = 0; b = -1; c = -3

Đt 4: a = 1; b = 0; c = 2
 

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀=(x₀;y₀) và cho hai vectơ n⃗  = (a; b) và u⃗  = (b; -a) khác vectơ-không. Cho biết u⃗  có giá song song hoặc trùng với Δ.

a. Tính tích vô hướng n⃗ . u⃗  và nêu nhận xét về phương của hai vectơ n⃗ , u⃗ .

b. Gọi M(x; y) là điểm di động trên Δ. Chứng tỏ rằng vectơ M0M luôn cùng phương với vectơ u⃗  và luôn vuông góc với vectơ n⃗ .

Giải nhanh: 

a) n. u = 0  n  u

b) Vì M, M0 thuộc đường thẳng  nên M0M chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng . Suy ra, vectơ M0M luôn cùng phương với vectơ u và luôn vuông góc với vectơ n.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x₀;y₀) và nhận vectơ u⃗  = (u₁; u₂)  làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, tìm tọa độ của M theo tọa độ của M₀ và u⃗ .

Giải nhanh: 

M (x=x0+tu1; y=y0+tu2)

Bài 3: a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận v⃗  = (8; -4) làm vectơ chỉ phương.

b. Tìm tọa độ điểm P trên Δ, biết P có tung độ bằng 1.

Giải nhanh: 

a)  (x=-9+8t; y=5-4t) 

b) Thay y = 1 vào y = 5 - 4t, ta được: 1 = 5 - 4t  t = 1

Thay t = 1 vào x = -9 + 8t, ta được: x = -9 + 8. 1 = -1

Vậy P = (-1; 1)

Bài 4: Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đề từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc v⃗  = (40; 30)

a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô.

b. Tìm tọa độ của xe ứng với t = 2; t = 4

Giải nhanh: 

a) (x=1+40t; y=1+30t) 

b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là:

 {x=81; y=61 

Thay t = 4 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là:

 {x=161; y=121 

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận n⃗ = (a; b) làm vectơ pháp tuyến.Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, chứng tỏ rằng điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0 (với c = - ax0 - by0)

Giải nhanh: 

Ta có: n = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng   u = (b; -a).

=> M (x=x0+bt; y=y0-at) 

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ax + by + c = 0, ta được:

a(x0 + bt) + b(y0 - at) - ax0 - by0 = 0 

ax0 + abt + by0 - abt - ax0 - by0 = 0 

0 = 0 (luôn đúng)

Vậy điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0

Bài 6: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n⃗  = (3; 5);

b. Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và có vectơ chỉ phương u⃗  = (2; - 7)

c. Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3)

Giải nhanh: 

a) Đường thẳng  có n⃗ = (3; 5) nên u = (5; -3).

Phương trình tham số của  là: {x=1+5t; y=1-3t 

Phương trình tổng quát của là: 3(x - 1) + 5(y - 1) = 0  3x + 5y - 8 = 0

b) Đường thẳng  đi qua O(0; 0) và có u = (2; -7) nên ta có phương trình tham số của  là: {x=2t; y=-7t 

Đường thẳng  có u = (2; -7) nên n = (7; 2).

Phương trình tổng quát của  là: 7(x - 0) + 2(y - 0) = 0  7x + 2y = 0

c. Đường thẳng  đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) nên có u = MN = (-4; 3) và n = (3; 4)

Phương trình tham số của  là: {x=4-4t; y= 3t 

Phương trình tổng quát của  là: 3(x - 4) + 4(y - 0) = 0  3x + 4y - 12 = 0

Bài 7: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc v⃗  = (3; -4).

a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ biểu diễn đường đi của điểm M.

b. Tìm tọa độ của điểm M khi Δ cắt trục hoành.

Giải nhanh: 

a) Ta có v là vectơ chỉ phương của đường thẳng   n = (4; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua điểm A(1; 2) và nhận n = (4; 3) là vectơ pháp tuyến là:

4(x - 1) + 3(y - 2) = 0  4x + 3y - 10 = 0

b) Tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng  và trục hoành: 

Ta có: {4xM+3yM-10=0; yM=0   {xM =52; yM=0 

Vậy M = (52; 0)

Bài 8: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong Thực hành 2

Giải nhanh: 

a) y =  -35x + 85

b) y = -72x

c) y = -34x + 3

Bài 9: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2m³/h vào một cái bể đã chứa sẵn 5m³ nước.

a. Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ.

b. Gọi y = f(x) là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này.

c. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Giải nhanh: 

a) y=2x+5

b)

c) Ta có: y=2x+5  2x-y+5=0

Phương trình đường thẳng d là 2x-y +5=0.

Ta có d nhận n = (2; -1) là vectơ pháp tuyến nên u = (1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận u = (1; 2) là vectơ chỉ phương là: {x=t=0; y=5+2t 

2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2 

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a. n1 và n2 cùng phương (Hình 5a, b);

b. n1 và n2 không cùng phương (Hình 5c, d);

c. n1 và n2 vuông góc (Hình 5d)

Giải nhanh: 

a) 1 // hoặc trùng 2

b) 1 cắt 2 

c) 1 vuông góc 2

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a. d₁: x - 5y + 9 = 0 và d₂: 10x + 2y + 7 = 10

b. d₁: 3x - 4y + 9 = 0 và d₂: {x=1+4t; y=1+3t         

c. d₁: {x=5+4t;y=4+3t và d₂: {x=1+8t';y=1+6t'

Giải nhanh: 

a) Đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (1; -5) và n2 = (10; 2)

Ta có: n1. n2 = 0 nên n1 và n2 là hai vectơ vuông góc, suy ra d₁d₂

Giải hệ phương trình:

{x-5y+9=0; 10x+2y+7=10  

 {x=-352; y=9352 

Vậy 1 và 2 vuông góc và cắt nhau tại M(-352; 9352).

b) Ta có: n1 = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1.

u2 = (4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d2  n2 = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2.

Ta có: 33 = -4-4 suy ra n1 và n2 là hai vectơ cùng phương. Vậy d1 song song hoặc trùng nhau. 

Lấy điểm M(1; 1) thuộc d2, thay tọa độ của M và phương trình d1, ta được: 

3. 1 - 4. 1 + 9  0.

Vậy d₁//d₂ 

c) d1 và d2 có phương trình tổng quát lần lượt là: 

3x - 4y + 1 = 0 và 6x - 8y + 2 = 0

Vectơ pháp tuyến lần lượt là:

 n1 = (3; -4) và n2 = (6; -8)

Ta có: 36 = -4-8 suy ra n1 và n2 là hai vectơ cùng phương. Vậy d1 song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc d2, thay tọa độ của M và phương trình , ta được: 3. 1 - 4. 1 + 1 = 0.

Vậy d1  d2

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d₁:

a. Đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng d₂: x + 3y + 2 = 0;

b. Đi qua điểm B(4; - 1) và vuông góc với đường thẳng d₃: 3x - y + 1 = 0

Giải nhanh: 

a) Vì d1 song song với d2: x + 3y + 2 = 0 nên d1 nhận n = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d1 đi qua điểm A(2; 3) và nhận n = (1; 3) là vectơ pháp tuyến, ta có:

(x - 2) + 3(y - 3) = 0  x + 3y - 11 = 0

b) Vì d1 vuông góc với d3: 3x - y + 1 = 0 nên d1 nhận n = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d1 đi qua điểm B(4; -1) và nhận n = (1; 3) là vectơ pháp tuyến, ta có: (x - 4) + 3(y  + 1) = 0  x + 3y - 1 = 0

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết xOz = 38^∘ (Hình 6). 

Tính số đo các góc xOt;tOy;yOz 

Giải nhanh:

tOy = xOz = 38°

xOt = yOz = 142°

Bài 2: Cho hai đường thẳng

Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 (a12+b12 > 0) và Δ2: a₂x + b₂y + c₂ = 0 (a22+b22 > 0)

có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2

Tìm tọa độ của n1 , n2 và tính cos(n1 , n2 ).

Giải nhanh: 

n1 = (a1; b1); n2 = (a2; b2); cos(n1, n2) = |n1.n2||n1|.|n2| = |a1a2+b1b2|a12+b12.a22+b22

Bài 3: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a. Δ₁: x + 3y - 7 = 0 và Δ₂: x - 2y + 3 = 0

b. Δ₁: 4x - 2y + 5 = 0 và Δ₂:{x=t y=13+2t  

c. Δ₁:{x=1+t y=3+2t  và Δ₂:{x=-7+2t' y=1-t' 

Giải nhanh: 

a) (1, 2)  = 45°

b) (1, 2) = 0°

c) (1, 2) = 90°

Bài 4: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hàm số y = x và y = 2x + 1.

Giải nhanh: 

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = x là d1: x - y = 0

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = 2x + 1 là d2: 2x - y + 1 = 0

cos(d1, d2) = |1.2+(-1).(-1)|12+(-1)2.22+(-1)2 = 31010

(d1, d2) = 18°26'

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 (a2 + b2) có vectơ pháp tuyến n⃗  và cho điểm M₀(x₀;y₀) có hình chiếu vuông góc H(x_H,y_H) trên Δ (Hình 9).

a. Chứng minh rằng hai vectơ n và HM0 cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b. Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ n và HM0 . Chứng minh rằng p = ax₀ + by₀ + c.

c. Giải thích công thức |HM0|=|p||n|

Giải nhanh: 

a) n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng : ax + by + c = 0 nên n ⊥Δ   (1)

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống  nên MH       (2)

Từ (1) và (2)  n cùng phương HM0

Ta có: n = (a; b), HM0 = (x0-xHy 0-yH)

b) Vì H ∈Δ nên axH+byH+c=0 

c = -axH-byH

Ta có: 

p = n. HM0 = a(x0-xH) + b(y0-yH)

 = ax0-axH+by0-byH = ax0 + by0 + c (đpcm)

c) Vì n cùng phương HM0 nên HM0 = tnn

 {x0 -xH =ta; y0-yH=tb   {xH=x0-ta;yH=y0-tb 

mà H   nên a(x0 - ta) + b(y0 - tb) + c = 0 

ax0 - ta2 + by0 - tb2 + c = 0

  t = ax0+by0+ca2+b2

Ta có: |HM0| = (x0-xH)2+(y0-yH)2 

= (x0-x0+ta)2+(y0-y0+tb)2 

= (a2+b2).t2 

= a2+b2.t 

= a2+b2. ax0+by0+ca2+b2 

= ax0+by0+ca2+b2 = |p||n| (đpcm)

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Giải nhanh: 

Ta có: AB = (4; 1), AC = (3; 3), BC = (-1; 2)

• Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận n1 = (1; -4) làm vectơ pháp tuyến là: x - 4y + 3 = 0
• Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận n2 = (3; -3) làm vectơ pháp tuyến là: x - y = 0
• Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận n3 = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 2x + y - 12 = 0
• Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là: d(A; BC) = 955
• Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là: d(B; AC) = 322
• Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là: d(C; AB) = 91717

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x - 3y + 2 = 0 và d₂: 4x - 3y + 12 = 0

Giải nhanh: 

Ta có: 44 = -3-3  212  d1 // d2.

Vì M(1; 2)  d1nên d(d1, d2) = d(M; d2) = 4.1-3.2+1242+32 = 2

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a. d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương u⃗  = (2; 1)

b. d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là n⃗  = (3; -2)

c. d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2

d. d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Giải nhanh: 

a) Ta có u = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận n = (1; -2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận u = (2; 1) là vectơ chỉ phương là: {x=-1+2t; y=5+t 

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận n = (1; -2) là vectơ pháp tuyến là: x -2y + 11 = 0

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; -2) và nhận n  = (3; -2) là vectơ pháp tuyến là: 3x-2y-16=0 

Ta có n  = (3; -2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận u = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; -2) và nhận u = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là: {x=4+2t; y=-2+3t 

c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + y0

Vì hệ số góc k = -2 nên ta có: y = -2x + y0

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 

1 = -2. 1 + y0  y0 = 3 

Phương trình tổng quát của d là: y = -2x + 3  2x + y - 3 = 0

Ta có d nhận n = (2; 1) là vectơ pháp tuyến  u = (1; -2) là vectơ chỉ phương của d. Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận u = (1; -2) làm vectơ chỉ phương là: {x=1+t; y=1-2t 

d) Ta có QR = (-3; 2) là vectơ chỉ phương của d  d nhận n = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận QR = (-3; 2) làm vectơ chỉ phương là: {x=3-3t; y=2t 

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận n = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 2x+3y-6=0

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b. Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c. Lập phương trình của đường cao AH.

Giải nhanh: 

a. x−2y+3=0

b. {x=2+t; y=5-2t 

c. 2x+y−9=0

Bài 3: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a. Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x+y+9=0;

b. Δ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x−y−2=0.

Giải nhanh: 

a) Phương trình tổng quát: 3x+y-7=0

Phương trình tham số: {x=2+t; y=1-3t 

b) Phương  trình tổng quát: x+2y-7=0

Phương trình tham số: {x=-1+2t; y=4-t 

Bài 4: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a. d₁: x - y + 2 = 0 và d₂: x+y+4=0

b. d₁: {x=1+2t y=3+5t   và d₂: 5x−2y+9=0

c. d₁: {x=2-t y=5+3t   và d₂: 3x+y−11=0.

Giải nhanh: 

a) Ta có d1 và d2 có các vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (1; -1) và n2 = (1; 1).

Ta có: n1. n2 = 1. 1 + 1. (-1) = 0  n1 n2. Do đó, d1  d2

Tọa độ M là giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình:

{x-y+2=0; x+y+4=0 

  {x=-3 y=-1 

Vậy d1 vuông góc với d2 và cắt nhau tại M(-3; -1).

b) Ta có u1 = (2; 5) là vectơ chỉ phương của d1   n1 = (5; -2) là vectơ pháp tuyến của d₁

              n2 = (5; -2) là vectơ pháp tuyến của d2.

Ta có: n1 = n2 nên n1 và n2 là hai vectơ cùng phương. Do đó, d1 // d2 hoặc d1  d2

Lấy điểm M(1; 3)  d1, thay tọa độ của M vào phương trình d2, ta được: 

5. 1 - 2. 3 + 9  0  M  d2

Vậy d1 // d2

c) u1 = (-1; 3) là vectơ chỉ phương của d1 n1 = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d1

Phương trình tổng quát của d đi qua điểm A(2; 5) và nhận n1 = (3; 1) là vectơ pháp tuyến là:

3(x-2)+1(y-5)=0

  3x+y-11=0

Ta có: n2 = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d2.

Ta có: n1 = n2 nên n1 và n2 là hai vectơ cùng phương. Do đó, d1 // d2 hoặc d1  d2 Lấy điểm N(2; 5)  d1, thay tọa độ của N vào phương trình d2, ta được: 

3. 2 + 5 - 11 = 0

N  d₂   

Vậy d1  d2            

Bài 5: Cho đường thẳng d có phương trình tham số {x=2-t; y=5+3t 

Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ

Giải nhanh: 

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình: {x=2-t; 0=5+3t =>{t=-53 x=113 

⇒ A = (113; 0)

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình: : {0=2-t; y=5+3t =>{t=2; y=11 

⇒ B = (0; 11)

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm  A(113; 0) và  B(0; 11).

Bài 6: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a. d₁: x - 2y + 3 = 0 và d₂: 3x−y−11=0

b. d₁: {x=t y=3+5t    và d₂: x+5y−5=0

c. d₁: {x=3+2t y=7+4t   và d₁: {x=t' y=-9+2t'   

Giải nhanh: 

a) Ta có: cos(d1, d2) = 22  (d1, d2) = 45°

b) Ta có n1 = (5; -1) và n2 = (1; 5) lần lượt là vectơ pháp tuyến của d1 và d2

Ta có: n1. n2 = 5. 1 + (-1). 5 = 0  n1  n2  (d1, d2) = 90°

c) Hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1 = (2; 4) và u2 = (1; 2)

Ta có: u1 = 2u2 u1 // u2  (d1, d2) = 0°

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a. M(1; 2) và Δ: 3x−4y+12=0;       

b. M(4; 4) và Δ: {x=t0; y=-t  

c. M(0; 5) và Δ: {x=t; y=-194  

d. M(0; 0) và Δ: 3x+4y−25=0

Giải nhanh: 

a) d(M; ) = 75

b) Phương trình tổng quát của  đi qua điểm O(0; 0) và nhận n = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

x+y=0 

d(M; ) = 42

c) Phương trình tổng quát của  đi qua điểm A(0; -194) và nhận n = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 0(x-0)+(y--194)=0

  y+194=0

d(M; ) =  394

d(M; ) = 5

Bài 8: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 3x+4y−10=0

Δ′: 6x+8y−1=0

Giải nhanh: 

d(Δ; Δ′) = 1910

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d:

12x−5y+16=0

Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Giải nhanh: 

2

Bài 10: Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) là ba vị trí trên màn hình.

a. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.

b. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.

c. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Giải nhanh: 

a) Đường thẳng AB: x-2y+3=0

Đường thẳng AC: 2x+3y-1=0

Đường thẳng BC: 9x-4y-57=0

b) cos(AB, AC)  = 465  (AB, AC)  60°15'

c) d(A; BC) =  7097