BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTO

KHỞI ĐỘNG

Một kiện hàng được vận chuyển từ điểm A đến điểm B rồi lại được vận chuyển từ điểm B đến điểm C. Tìm vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển: +

Giải nhanh: 

1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Một rô bốt thực hiện liên tiếp hai chuyển động có độ dịch chuyển lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ và . Tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau hai chuyển động trên.

Giải nhanh: 

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (Hình 4). Chứng minh rằng + =

Giải nhanh: 

Vì ABCD là hình bình hành nên =

=> + = + = (đpcm)

Bài 3: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là AB và DC. Cho biết = + ; = + . Chứng minh hai vec tơ A, B cùng hướng.

Giải nhanh: 

cùng hướng với

Ta có: = + =

           = + =

Hai vectơ   và  cùng hướng (đpcm)

Bài 4: Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tìm độ dài của vectơ

Giải nhanh: 

Tam giác ABC đều => AC = AB = BC = a.

Ta có: + =

|| = BC = a.

Bài 5: Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hương bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

(km/h)

Bài 6 : Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực có độ lớn lần lượt là 400N, 600N (Hình 8). Cho biết góc xen giữa hai vectơ là 60∘. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực  là tổng của hai hợp lực

Giải nhanh: 

Áp dụng định lí côsin, ta có:

OC =  

OC 871,78 (N)

|| = || 871,78(N)

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG CÁC VECTƠ

Bài 1: Cho ba vectơ + + được biểu diễn như Hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh các kết quả tìm được:

a) + = + = ?

+ = + = ?

b) ( + ) + = ( + ) + = + = ?

     + ( + ) = + ( + ) = + = ?

Giải nhanh: 

a)  ;

b)  ;

Nhận xét: Các kết quả bằng nhau

Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:

a. = ( + ) +

b. = + + +

Giải nhanh: 

a) = ( + ) + = ( + ) + =

Ta có: || = AD = 1 nên || = 1

b) = + + + = ( + ) + ( + ) = + =

Ta có: || = AC = nên || = .

3. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Tìm hợp lực của hai lực đối nhau (Hình 11).

Giải nhanh: 

Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và một điểm O tùy ý. Tính độ dài của các vectơ sau:

a. = -

b. = ( - ) + ( - )

Giải nhanh: 

a)

b)  

4. TÍNH CHẤT VECTƠ CỦA TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẰNG VÀ TRỌNG TÂM TAM GIÁC

Bài 1: 

a. Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết . Hoàn thành phép cộng vectơ sau: + = + = = = ?

b. Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng + = và = hoàn thành các phép cộng vectơ sau: + + = + = + =

Giải nhanh: 

a) + = + = =

b)  

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a. + + =  

b. + + =  

c. + =  

Giải nhanh: 

a. M là trọng tâm của tam giác ABD

b. N là trọng tâm của tam giác BCD

c. P là trung điểm của MN

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có tâm O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a. + =

b. + =

Giải nhanh: 

a. ABCD là hình bình hành nên =

+ = - = (đpcm)

b. Giả sử: + = +

  - = -

= (luôn đúng vì ABCD là hình bình hành)

Vậy + = +

Bài 2. Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:

a. +  

b. -  

c. -  

Giải nhanh: 

a. +

b. - =  

c. - =  

Bài 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:

a. +

b. +

c. -

Giải nhanh: 

a) + =           

|| = BC = a 

b. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC

Ta có: + = (hbh)

|| = = =  

c) - =

|| = AC = a

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a.

b.  

Giải nhanh: 

a. ABCD là hình bình hành nên

Lại có:

⇒

b. Ta có:

Vậy

Bài 5. Cho ba lực , cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của đều là 10 N và = 90. Tìm độ lớn của lực  

Giải nhanh: 

Vì vật đứng yên nên: + = -

|| = =

Bài 6. Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực   của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng  và lực cản   (Hình 16). Cho biết α = 30^o và | | = a. Tính và theo a.

Giải nhanh: 

Ta có: = =  

|| = a.cos = a

      || = a.sin = a

Bài 7. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: + =  ;  + + = ; + + = Tính độ dài các vectơ

Giải nhanh: 

Ta có: + = K là trung điểm của AC

|| = AK =

Vì + + = ; + + = nên G và H lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ACD.

Ta có: GH = HK + KG = DK + KB = BD =

|| = 

Ta có: AM = a

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = AM =

|| =  AG =

Bài 8. Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như Hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Giải nhanh: 

km/h