BÀI 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU

1. SỐ TRUNG BÌNH

Bài 1: Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10, còn của các bạn Tổ 2 là 10; 6; 9; 9; 8; 9. Theo em, tổ nào có kết quả kiểm tra tốt hơn tại sao?

Giải nhanh: 

• Điểm trung bình của Tổ 1 là: 7,83

• Điểm trung bình của Tổ 2 là:  8,5

=> Vậy kết quả kiểm tra của Tổ 2 tốt hơn.

Bài 2: Thời gian chạy 100 mét (đơn vị: giây) của các bạn học sinh ở hai nhóm A và B được ghi lại ở bảng:

Nhóm nào có thành tích chạy tốt hơn?

Giải nhanh: 

• Số giây trung bình nhóm A chạy được là: 12,8625 (s)

• Số giây trung bình nhóm B chạy được là:  13,06 (s)

=> Vậy nhóm A có thành tích chạy tốt hơn.

Bài 3: Số bàn thắng mà một đội bóng ghi được ở mỗi trận đấu trong một mùa giải được thống kê lại ở bảng sau:

Hãy xác định số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải.

Giải nhanh: 

0,62 bàn thắng

2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ

Bài 1: Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

a. Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó.

b. Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Giải nhanh: 

a. Tổ 1: 4,44 quyển sách

Tổ 2: 4 quyển sách

b. Các bạn ở Tổ 2 đọc nhiều sách hơn các bạn ở Tổ 1.

Bài 2: Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.

Giải nhanh: 

Sắp xếp số giây các bạn nhóm A chạy được theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 

12,2; 12,5; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,2; 13,5

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên. Vậy Me = (12,8 + 12,9) = 12,85

Sắp xếp số giây các bạn nhóm B chạy được theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 12,1; 12,9; 13,2; 13,4; 13,7.

Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên. Vậy Me = 13,2.

Cỡ mẫu bằng 26. Khi sắp xếp số bàn thắng theo thứ tự không giảm thì số liệu thứ 13 và 14 là 1; 1. Vậy Me = (1+1) = 1.

Bài 3: Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Giải nhanh: 

Sắp xếp số cân nặng theo theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69

Q2 = (58 + 59) = 58,5.

Q1 = (54 + 56) = 55.

Q3 = (64 + 65) = 64,5

Vậy các ngưỡng cân nặng để huấn luyện viên phân nhóm vận động viên là: 55; 58,5 và 64,5.

Bài 4: Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a. 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7.

b. 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Giải nhanh: 

a. Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.

Vì cỡ mẫu là n = 9, là số lẻ, nên giá trị tứ vị phân thứ hai là Q₂ = 10.

Q₁ = (2 + 5) = 3,5

Q₃ = (13 + 15) = 14

b. Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19

 Q₂ = (9 + 10) = 9,5

Q₁ = 5

Q₃ = 15

3. MỐT

Bài 1: Một cửa hàng kinh doanh hoa thống kê số hoa hồng bán được trong ngày 14 tháng 2 theo loại hoa và thu được bảng tần số sau:

Cửa hàng nên nhập loại hoa nào nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo? Tại sao?

Giải nhanh: 

Cửa hàng nên nhập hoa hồng nhung để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo

Bài 2: Hãy tìm mốt của số liệu điểm kiểm tra của các bạn Tổ 1 trong Khám phá 1.

Giải nhanh: 

 Mo = 6; 10

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a. 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41.

b. 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.

Giải nhanh: 

a. = 46,25

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 23; 29; 41; 41; 45; 48; 71; 72.

= (41 + 45) = 43

= (29 + 41) = 35 

= (48 + 71) = 59,5

= 41

b. =  48,89

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 12; 12; 24; 32; 54; 66; 78; 78; 93.

= 54.

= (12 + 24) = 18

= (78 + 78) = 78

= 12; 78

Bài 2. Hãy tìm số trung bình, tứ vị phân và mốt của các số liệu sau:

Giải nhanh: 

a. =  4,78.

= 28.

= (25 + 25) = 25. 

= (31 + 31) = 31.

= 28.

b. = 11

= (0 + 0) = 0

= 0

= 2

= 0

Bài 3. An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra đó rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Giải nhanh: 

= 0,06

= (2 + 2) = 2

= 1

= 2

= 2

Bài 4. Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

a. Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b. Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và số trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Giải nhanh: 

a. Thời gian thi nghề trung bình của các thí sinh trên là: 5,08.

= (7 + 7) = 7

= (6 + 6) = 6

= (7 + 8) = 7,5

= 7

b. Vì thời gian thi trung bình của năm nay (5,08 phút) nhỏ hơn thời gian thi trung bình của năm ngoái (7 phút) nên thời gian thi nói chung của các thí sinh năm nay ít hơn so với năm trước.

Bài 5. Bác Dũng và bác Thu ghi lại số cuộc điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong 10 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng 01/2021 ở bảng sau:

a. Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số cuộc điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên.

b. Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

c. Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

d. Theo bạn, nên dùng số trung bình hay số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc điện thoại hơn mỗi ngày?

Giải nhanh: 

a. = 3,4 (cuộc)

Sắp xếp lại số cuộc điện thoại mà bác Dũng gọi mỗi ngày theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 7.

• = (3 + 4) = 7,5

• = 1

• = 5

• = 1

= 3,9 (cuộc)

Sắp xếp lại số cuộc điện thoại mà bác Thu gọi mỗi ngày theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 20.

• = (2 + 2) = 2

• = 1

• = 3

= 1; 2

b. Nếu so sánh số trung bình, bác Thu gọi nhiều cuộc điện thoại hơn.

c. Nếu so sánh số trung vị, bác Dũng có nhiều cuộc điện thoại hơn.

d. Nên dùng số trung vị để so sánh vì bác Thu có một số liệu quá lớn so với các số liệu còn lại.

Bài 6. Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam đạt được trong 20 kì thi được cho ở bảng sau:

Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 - 2010 cao hơn giai đoạn 2011- 2020. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không?

Giải nhanh: 

= 156,8

= 153

Sắp xếp điểm thi giai đoạn 2001 - 2010 theo thứ tự không giảm, ta được: 131; 133; 139; 143; 159; 161; 166; 168; 172; 196.

= (159 + 161) = 160.

Sắp xếp điểm thi giai đoạn 2011 - 2020 theo thứ tự không giảm, ta được: 113; 148; 148; 150; 151; 151; 155; 157; 177; 180.

= (151 + 151) = 151.

Vậy dựa vào trung vị, điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 - 2010 cao hơn giai đoạn 2011 - 2020.

Bài 7. Kết quả bài kiểm tra giữa kì của các bạn học sinh lớp 10A, 10B, 10C được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.

a. Hãy lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.

b. Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.

Giải nhanh: 

a.

b. Lớp 10A là:  8,35

Lớp 10B là: 7,5

Lớp 10C là: 7,6

Dựa vào số trung bình, điểm số của các học sinh lớp 10A là cao nhất, lớp 10B là thấp nhất.

Xét điểm số lớp 10A: = 9

Xét điểm số lớp 10B: = (7 + 8) = 7,5

Xét điểm số lớp 10C: = 7

Dựa vào trung vị, điểm số của các học sinh lớp 10A là cao nhất, lớp 10C là thấp nhất.

Xét lớp 10A: = 9

Xét lớp 10B: = 7, 8

Xét lớp 10C: = 7

Dựa vào mốt, điểm số của các học sinh lớp 10A là cao nhất, lớp 10C là thấp nhất.