BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON

KHỞI ĐỘNG

Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

a+b2=a2+2ab+b2 ; a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.

Với số tự nhiên n>3 thì công thức khai triển biểu thức (a+b)ⁿ sẽ như thế nào?

Giải nhanh: 

a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnn-1abn-1+Cnnabn

Bài 1:

a. Xét công thức khai triển (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

1. Liệt kê các số hạng của khai triển trên
2. Liệt kê các hệ số của khai triển trên.
3. Tính giá trị của C30;C31;C32;C33 (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b. Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a+b)⁴.

(a+b)⁴=(a+b).(a+b)³=?=?a⁴+?a³b+?a²b²+?ab³+?b⁴

Tính giá trị của C40;C41;C42;C43;C44 rồi so sánh với các hệ số của khai triển trên.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu C40;C41;C42;C43;C44

c. Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a+b)⁵ . Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Giải nhanh: 

a) i. a3; 3a2b; 3ab2; b3.

ii. 1; 3; 3; 1

iii. C30=1;C31=3;C32=3;C33=1

b) (a+b)4=(a+b).(a+b)3=(a+b)4

=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 

Mà C40=1;C41=4;C42=6;C43=4;C43=4

 (a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4

c) (a+b)5=C50a5+C51a4b+C52a3b2+C53a2b3+C54ab4+C55b5 

Bài 2: Khai triển các biểu thức sau:

a. (x-2)4

b. (x+2y)5

Giải nhanh: 

a) -8x3+24x2-32x+16 

b) x5+10x4.y+40x3.y2+80x2y3+80x.y4+32y5 

Bài 3: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

a. C40.14+C41.13.2+C42.12.22+C43.12.23+C44.24 = 81 (a)

b. C40.14+C41.13.(-2)+C42.12.(-2)2+C43.1.(-2)3+C44.(-2)4 = 1 (b)

Giải nhanh: 

Sử dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(1+x)4=C40+C41x+C42x2+C43x3+C44x4 

a) VT(a) = C40.14+C41.13.2+C42.12.22+C43.12.23+C44.24 

=(1+2)4 = 81 = VP(a)

b) VT(b)=C40.14+C41.13.(-2)+C42.12.(-2)2+C43.1.(-2)3+C44.(-2)4 

=(1-2)4  = 1 = VP(b)

Bài 4: Trên quầy còn 4 vé sổ xố khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Giải nhanh: 

TH1: Không mua vé nào  C40 = 1 (cách)

TH2: Mua 1 vé  Có C41 = 4 (cách)

TH3: Mua 2 vé  Có C42 = 6 (cách)

TH4: Mua 3 vé  Có C43 = 4 (cách)

TH5: Mua 4 vé  Có C44 = 1 (cách)

Áp dụng quy tắc cộng: 16 cách

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a. (3x+y)4

b. (x-2)5

Giải nhanh: 

a. 81x4+108x3y+54x2y2+12xy3+y4 

b. x5-52x4+20x3-202x2+20x-42 

Bài 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a.  (2+2)4

b.  (2+2)4 + (2-2)4

c. (1-3)5

Giải nhanh: 

a. 68+482

b. 136 

c. 76-443 

Bài 3: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x−2)⁵

Giải nhanh: 

(3x-2)5=243x5-810x4+1080x3-720x2+240x-32 

Hệ số x3 trong khai triển (3x-2)5 là 1080

Bài 4:  Chứng minh rằng: C50-C51+C52-C53+C54-C55=0

Giải nhanh: 

VT=C50-C55+C54-C51+C52-C53 

=C50-C50+C51-C51+C52-C52 

=0=VP (đpcm)

Bài 5: Cho A={a₁;a₂;a₃;a₄;a₅ }  là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A.

Giải nhanh: 

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử () là một tổ hợp chập k của A. 

Tập con số lẻ 1 phần tử của A  Có: C51

Tập con số lẻ 3 phần tử của A  Có: C53

Tập con số lẻ 5 phần tử của A  Có: C55

Số tập con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng: C51 + C53 + C55  (1)

Tập con số chẵn 0 phần tử của A  Có: C50

Tập con số chẵn 2 phần tử của A  Có: C52

Tập con số chẵn 4 phần tử của A  Có: C54

Số tập con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A bằng: C50 + C52 + C54 (2)

Có: C51 = C54 ; C53 = C52 ; C55 = C50 (3)

Từ (1); (2) và (3)  Số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A (đpcm)