BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 8

Bài 1: Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra

a. 1 thành viên của nhóm?

b. 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?

c. 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?

Giải nhanh: 

a) + PA1: Chọn 1 thành viên bất kì trong 4 học sinh lớp 10A  Có: C41=4 (cách)

+ PA2: Chọn 1 thành viên bất kì trong 5 học sinh lớp 10B  Có: C51=5 (cách)

+ PA3: Chọn 1 thành viên bất kì trong 6 học sinh lớp 10C  Có: C61=6 (cách)

Áp dụng quy tắc cộng: 4 + 5 + 6 = 15 cách thỏa mãn yêu cầu đề.

b) Việc chọn 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau gồm 3 CĐ:

CĐ1: Mỗi 1 thành viên bất kì trong 4 học sinh lớp 10A  Có: C41=4 (cách)

CĐ2: Mỗi 1 thành viên bất kì trong 5 học sinh lớp 10B  Có: C51=5 (cách)

CĐ3: Mỗi 1 thành viên bất kì trong 6 học sinh lớp 10C  Có: C61=6 (cách)

Áp dụng quy tắc nhân: 4.5.6 = 120 (cách) thỏa mãn yêu cầu đề.

c) Việc chọn 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau gồm 2 PÁ:

PÁ1: Chọn 1 thành viên của lớp 10A và 1 thành viên của lớp 10B

  C41.C51=20 (cách)

PÁ2: Chọn 1 thành viên của lớp 10A và 1 thành viên của lớp 10C 

 C41.C61=24 (cách)

PÁ3: Chọn 1 thành viên của lớp 10B và một thành viên của lớp 10C 

 C51.C61=30 (cách)

Áp dụng quy tắc cộng: 20 + 24 + 30 = 74 (t/m)

Bài 2: Một khoá số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số, từ 0 đến 9) như Hình 1. Người dùng cần đặt mật mã cho khóa là một dãy số có ba chữ số. Để mở khoá, cần xoay các vòng số để dãy số phía trước khóa trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khóa? 

Giải nhanh: 

Việc chọn mật mã cho khóa gồm 3 công đoạn:

+ CĐ1: Chọn 1 mã số trong 10 chữ số ở vòng số thứ nhất  Có C101 (cách)

+ CĐ2: Chọn 1 mã số trong 10 chữ số ở vòng số thứ hai  Có C101 (cách)

+ CĐ3: Chọn 1 mã số trong 10 chữ số ở vòng số thứ hai  Có C101 (cách)

Áp dụng quy tắc nhân: C101.C101.C101 = 1000 cách chọn mật mã cho khóa

Bài 3: Từ 6 thẻ số như Hình 2, có thể ghép để tạo thành bao nhiêu

a. Số tự nhiên có sáu chữ số?

b. Số tự nhiên lẻ có sáu chữ số?

c. Số tự nhiên có năm chữ số

d. Số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000?

Giải nhanh: 

a) P6=6!=720 (số)

b) CĐ1: Chọn 1 thẻ số lẻ trong 3 thẻ số lẻ để xếp vào hàng đơn  Có C31 (cách chọn)

CĐ2: Mỗi cách chọn 5 số tự nhiên còn lại vào 5 vị trí còn lại trong 5 thẻ số  P₅= = 120 (cách chọn)

Áp dụng quy tắc nhân: C31.P₅ = 360 cách chọn số tự nhiên lẻ có 6 chữ số.

c) Số các số tự nhiên có năm chữ số là: A65=720 số 

d) Gọi số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000 là abcde  Chữ số a có 2 cách chọn

Mỗi cách chọn 4 chữ số trong 5 thẻ số còn lại để sắp vào bộ 4 vị trí bcde là một chỉnh hợp chập 4 của 5  A54=120 (cách chọn)

Áp dụng quy tắc nhân có: 2. A54 = 240 cách chọn số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000

Bài 4: Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Giải nhanh: 

Việc chọn bữa trưa gồm 2 món mặn, món rau và 1 món canh gồm 3 cách chọn:

+ CĐ1: Mỗi cách chọn 2 món mặn trong 6 món mặn là một tổ hợp chập 2 của 6 món canh  C62 (cách chọn)

+ CĐ2: Mỗi cách chọn 2 món rau trong 5 món rau là một tổ hợp chập 2 của 5 món canh  C52 (cách chọn)

+ CĐ3: Mỗi cách chọn 1 món canh trong 3 món canh là một tổ hợp chập 1 của 3 món canh  C31 (cách chọn)

Áp dụng quy tắc nhân: C62.C52.C31 = 450 (cách chọn).

Vậy nhóm khách có 450 cách chọn bữa trưa

Bài 5: Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như Hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?

Giải nhanh: 

+ TH1: Chọn 1 điểm trong 4 điểm nằm trên đường thẳng thứ nhất và 2 điểm trong 5 điểm nằm trên đường thẳng thứ 2  Có C41.C52 tam giác tạo thành

+ TH2: Chọn 2 điểm nằm trong 4 điểm nằm trên đường thẳng thứ nhất và 1 điểm nằm trong 5 điểm nằm trên đường thẳng thứ 2  Có C42.C51 tam giác tạo thành

Áp dụng quy tắc cộng: C41.C52  + C42.C51 = 70 (tam giác)

Bài 6: Khai triển các biểu thức

a. a-b24

b. (2x2+1)5

Giải nhanh: 

a) a4-2a3b+32a2b2-12ab3+116b4 

b) 32x10+80x8+80x6+40x4+10x2+1 

Bài 7: Hãy khai triển và rút gọn biểu thức

1+x4+1-x4

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng giá trị biểu thức 1,05⁴ + 0,95⁴

Giải nhanh: 

1+x4+1-x4=(C4014+C4113.x+C4212.x2+C431.x3+C44x4)+[C4014+C4113.(-x)+C4212.(-x)2+C431.(-x)3+C44(-x)4]

=1+4x+6x2+4x3+x4 + [1 – 4x + 6x² -4x³ + x⁴ ]

= 2x⁴ + 12x²  + 2 

Áp dụng kết quả khai triển trên, ta có:

1,05⁴ + 0,95⁴ = (1 + 0,05)⁴ + (1-0,05)⁴  = 2.0,05⁴ + 12.0,05² + 2

12. 0,05² + 2 = 3.4.0,0025 + 2 = 3.0,01 + 2 = 2,03