BÀI 5. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 5

Bài 1. Cho ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗  đều khác vectơ 0⃗ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ , cùng phương với thì và cùng phương.

b) Nếu hai vectơ , cùng ngược hướng với thì và cùng hướng.

Giải nhanh: 

a) Nếu hai vectơ , cùng phương với thì và cùng phương.

b) Nếu hai vectơ , cùng ngược hướng với thì và cùng hướng.

Các khẳng định trên đều đúng.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có  là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a. Tính độ dài các vectơ ,

b. Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng

Giải nhanh: 

a) || = || =  = =

b) Các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng là: và ;  và ; và , và ; và ; và ; và ; và

Bài 3. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60. Tìm độ dài các vectơ sau:

Giải nhanh: 

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

• = a

Ta có:   =>

Ta có =>

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho = (Hình 1).

a. Tìm tổng của các vectơ + ; + ; +

b. Tìm các vectơ hiệu: - ; - ; -  

c. Chứng minh + = +

Giải nhanh: 

a) + = + = (quy tắc hình bình hành)

+ = + =

+ = + =

b. - = - =

- = - =

- = - =

c) + =  (1)

+ =       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: + = +

Bài 5. Cho a⃗ , b⃗  là hai vectơ khác vectơ 0⃗ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a. |a⃗  + b⃗ | = |a⃗ | + |b⃗ |

b. |a⃗  + b⃗ | = |a⃗  - b⃗ |

Giải nhanh: 

a) Ta có: = + + 2||. ||.cos(, )

                = + + 2||. ||

Để | + | = || + || thì 2||. ||.cos(, ) =  2||. || cos(, ) = 1  (, ) =

Vậy trong trường hợp = k (k > 0) (hay cùng hướng với ) thì | + | = || +||

b) Ta có: = = + 2 +  

               = = - 2 +

Để | + | = | - | thì 2 = 0  

Vậy trong trường hợp . = 0 (tức là ) thì | + | = | - |

Bài 6. Cho |a⃗  + b⃗ | = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a⃗  và b⃗ 

Giải nhanh: 

|a⃗ | = |b⃗ |, a⃗  và b⃗  ngược hướng với nhau.

Bài 7. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng = khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Giải nhanh: 

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm của BC là

Bài 8. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng  

Giải nhanh: 

Ta có: ABIJ là hình bình hành nên  

          BCPQ là hình bình hành nên

          CARS là hình bình hành nên

Ta có:

=

=

= 0⃗  + 0⃗  + 0⃗   = 0⃗  

Bài 9. Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38m/s theo hướng nghiêng với một góc 20∘ về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Giải nhanh: 

= 16 (m/s)

Bài 10. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng

Giải nhanh: 

Qua M kẻ đường thẳng IK // AB, NP // AC, QS // BC (K, P ∈ BC; N, Q ∈ AB; I, S ∈ AC). 

Ta có: MK // AB ⇒

           MP // AC ⇒

⇒ ΔMKP đều mà MD là đường cao nên MD đồng thời là đường trung tuyến của ΔMKP.

⇒

Cmtt, ta có:

⇒ 2

= = 3

⇒  (đpcm)

Bài 11. Một xe goòng được kéo bởi một lực F⃗  có độ lớn là 50N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200m. Cho biết góc giữa là 30 và  được phân tích thành hai lực và (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực

Giải nhanh:

Ta có: = F. = 25(N)

            = F. = (N)

Công sinh bởi lực là: A = .. = (J)

Công sinh bởi lực là: = .. = 0 (J)

Công sinh bởi lực là: = .. = (J)

Bài 12. Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi  lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ, vận tốc của thuyền so với bờ.

a. Tính độ dài của các vectơ  

b. Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c. Hướng di chuyển của thuyền một góc bao nhiêu so với bờ?

Giải nhanh: 

a) = 0,75; = 1,2; = 1,4 

b) v = 1,4 m/s

c) Tan =