BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

KHỞI ĐỘNG

Một nông trại tưới nước theo phương pháp vòi phun xoay vòng trung tâm. Cho biết tâm một vòi phun được đặt tại tọa độ (30; 40) và vòi có thể phun xa tối đa 50m. Làm thế nào để viết phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi này có thể phun tới?

Giải nhanh: 

(x − 30)² + (y − 40)² = 50²

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng Oxy.

Giải nhanh: 

IM = (x-a)2+(y-b)2

Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4;

b. (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R = 8;

c. (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3).

Giải nhanh: 

a) x2+y2=16

b) (x-2)2+(y+2)2=64

c) Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C). Phương trình đường tròn C có dạng:

x2+y2-2ax-2by+c=0

(C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3) nên ta có hệ phương trình: 

{12+42-2a-8b+c=0; 02+12-2b+c=0; 42+32-8a-6b+c=0  

 {2a+8b-c=17; 2b-c=1; 8a+6b-c=25  

 {a=2; b=2; c=3 

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2+y2-4x-4y+3=0

Bài 3: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a. x²+y²−2x−4y−20=0;                         b. (x+5)²+(y+1)²=121

c. x²+y²−4x−8y+5=0;                           d. 2x²+2y²+6x+8y−2=0

Giải nhanh: 

a) Phương trình đã cho có dạng: x2+y2-2ax-2by+c =0 với a = 1; b = 2; c = -20.

Ta có: a2+b2-c = 12+22+20=25>0. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5

b) Phương trình có dạng: (x-a)2+(y-b)2=R2 với a = -5; b = -1; R = 11

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(-5; -1) và bán kính R = 11

c) Phương trình có dạng: x2+y2-2ax-2by+c =0 với a = 2; b = 4; c = 5

Ta có: a2+b2-c = 22+42-5=15>0 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = 15.

d) Ta có: 2x2+2y2+6x+8y-2=0  x2+y2+3x+4y-1=0

Phương trình có dạng: 

x2+y2-2ax-2by+c =0 với a = -3/2; b = -2; c = -1

Ta có: a2+b2 - c = (-32)2+(-2)2 + 1 = 294 > 0 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(-32; -2) và bán kính R = 292

Bài 4: Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.

Giải nhanh: 

(x−30)²+(y−40)²=50²

Bài 5: Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ để đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu sáng đang rọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình (x - 13)² + (y - 4)² = 16.

a. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

b. Cho biết tọa độ trên sân khấu của ba diễn viên như sau: A(11; 4), B(8; 5), C(15; 5). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?

Giải nhanh: 

a) I(13; 4) và R = 4

b) Thay tọa độ điểm A(11; 4) vào phương trình đường tròn (C), ta được: (11-13)2+(4-4)2=4<16 Diễn viên A được chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm B(8; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được: (8-13)2+(5-4)2=26>16  Diễn viên B không được chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm C(15; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được: (15-13)2+(5-4)2=5<16  Diễn viên C được chiếu sáng

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho điểm M₀(x₀;y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) và cho điểm M(x; y) tùy ý trong mặt phẳng Oxy. Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀.

a. Viết tọa độ của hai vectơ M0M và M0I

b. Viết biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ M0M và M0I

c. Phương trình  M0M . M0I =0 là phương trình của đường thẳng nào?

Giải nhanh: 

a) M0M = (x - x0; y - y0);  M0I = (a - x0; b - y0)

b) M0M. M0I = (x - x0). (a - x0) + (y - y0). (b - y0) = 0

c) Phương trình của đường thẳng 

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x²+y² - 2x - 4y - 20 = 0 tại điểm A(4; 6)

Giải nhanh: 

Ta có: 42+62-2.4-4.6-20=0 nên A(4; 6) (C)

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(4; 6) là:

(1-4)(x-4)+(2-6)(y-6)=0  3x+4y-36=0

Bài 3: Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn (C) có phương trình:    (x−1)² + (y−1)² = 169144

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm M(1712; 2) thì buông đĩa (Hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M.

Giải nhanh: 

Đường tròn (C) có tâm I(1; 1). Ta có: (1712-1)2+(2-1)2 = 169144 

⇒ M (1712; 2)  (C)

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là:

(1-1712)(x-1712)+(1-2)(y-2)=0

60x + 144y - 373 = 0

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a. x²+y²−6x−8y+21=0

b. x²+y²  −2x+4y+2=0

c. x²+y² −3x+2y+7=0

d. 2x²+2y²+x+y−1=0

Giải nhanh: 

a) Ta có:  a = 3, b = 4, c = 21

=> a2+b2-c = 32+42-21=4>0

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính R = 4 = 2

b) Ta có: a = 1, b = -2, c = 2

=> a2+b2-c = 12+(-2)2-2=3>0. 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và có bán kính R = 3.

c) Ta có: a = 32, b = -1, c = 7

=> a2+b2-c = (32)2+(-1)2-74 = -154 < 0. Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d) 2x²+2y²+x+y−1=0 => x2+y2+12x+ 12y- 12 = 0

Ta có: a = -14, b =  -14 , c =  -12

=> a2+b2 - c = (-14)2 + (-14)2+ 12 = 58 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(-14;-14) và bán kính R = 104

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;

b. (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);

c. (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x−12y+11=0;

d. (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Giải nhanh: 

a) (x-1)2+(y-5)2=16

b) (x-6)2+(y-1)2=13

c) (x-2)2+(y-1)2=81169 

d) (x-1)2+(y+2)2=18 

Bài 3: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a. M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b. A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)

Giải nhanh: 

a) x2+y2-6x-6y+13=0.

b) x2+y2-8x-6y=0

Bài 4: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Giải nhanh: 

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: R = d(I; Ox) = d(I; Oy) ⇒ R = a = b ⇒ (C) có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

⇒ Phương trình đường tròn (C) là: ( x − a )² + ( y − a )² = a²

Ta có A(4; 2) ∈ (C) nên ( 4 − a )² + ( 2 − a )² = a²

⇔ 16 - 8a + a² + 4 - 4a + a² = a²

⇔ a = 10 hoặc a = 2

Vậy (C): (x−10)²+(y−10)² = 100 hoặc (x−2)²+(y−2)²=4

Bài 5: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²−2x−4y−20=0.

a. Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x+3y+2022=0

Giải nhanh: 

a) Thay điểm M(4,6) vào phương trình đường tròn (C):

42+62-2.4-4.6-20=0

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C)

b) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là: 

(1-4)(x-4)+(2-6)(y-6)=0  3x+4y-36=0

c) Tiếp tuyến  của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng : 

4x+3y+c=0 (c  2022)

Ta có: R = d(I; ) = |4.1+3.2+c|42+32 = |10+c|5 = 5 

|10 + c| = 25  c = 15 hoặc c = -35

Vậy : 4x+3y+15=0 hoặc : 4x+3y-35=0

Bài 6: Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào.

a. Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b. Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Giải nhanh: 

a) x2+y2=17,64 (y > 0)

b) Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được:

y = 17,64-2,22  3,58 > 2,6

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng