CHƯƠNG IX. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 

HĐKP1:

IM = R=$\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$

Kết luận:

Trong mp Oxy, phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R là:

(x-a)$^{2}$ + (y-b)$^{2}$ =R$^{2}$

Ví dụ 1: SGK-tr59

Ví dụ 2: SGK-tr59

* Nhận xét:

(x-a)$^{2}$ + (y-b)$^{2}$ =R$^{2}$

<=> x$^{2}$ + y$^{2}$ - 2ax - 2by + (a$^{2}$ + b$^{2}$ -R$^{2}$) =0

Vậy phương trình đường tròn (x-a)$^{2}$ + (y-b)$^{2}$ =R$^{2}$ có thể được viết dưới dạng 

x$^{2}$ + y$^{2}$ - 2ax - 2by + c = 0, trong đó c = a$^{2}$ + b$^{2}$ - R$^{2}$ .

+ Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) 

a$^{2}$ + b$^{2}$ – c > 0

(C) có tâm I(a; b) và bán kính R =  $\sqrt{a^{2}+b^{2}-c}$

Ví dụ 3: SGK-tr60

Thực hành 1.

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là:

x$^{2}$ +y$^{2}$=16

b) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R = 8 là:

(x-2)$^{2}$+(y+2)$^{2}$=64

c) Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C). Phương trình đường tròn C có dạng:

x$^{2}$+y$^{2}$-2ax-2by+c=0

(C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}1^{2}+4^{2}-2a-8b+c=0 & \\ 0^{2}+1^{2}-2b+c=0 & \\ 4^{2}+3^{2}-8a-6b+c=0 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}2a+8b-c=17 & \\ 2b-c=1 & \\ 8a+6b-c=25 & \end{matrix}\right.$  

 $\left\{\begin{matrix}a=2 & \\ b=2 & \\ c=3 & \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x$^{2}$+y$^{2}$-4x-4y+3=0

Thực hành 2.

a) Phương trình đã cho có dạng: x$^{2}$+y$^{2}$-2ax-2by+c =0 với a = 1; b = 2; c = -20.

Ta có: a$^{2}$+b$^{2}$-c = 1$^{2}$+2$^{2}$+20=25>0. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

b) Phương trình có dạng 

(x-a)$^{2}$+(y-b)$^{2}$=R$^{2}$ với a = -5; b = -1; R = 11.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(-5; -1) và bán kính R = 11.

c) Phương trình có dạng 

x$^{2}$+y$^{2}$-2ax-2by+c =0 với a = 2; b = 4; c = 5.

Ta có: a$^{2}$+b$^{2}$-c = 2$^{2}$+4$^{2}$-5=15>0. 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = $\sqrt{15}$.

d) Ta có: 2x$^{2}$+2y$^{2}$+6x+8y-2=0  

<=> x$^{2}$+y$^{2}$+3x+4y-1=0

Phương trình có dạng 

x$^{2}$+y$^{2}$-2ax-2by+c =0 với a =; b = -2; c = -1.

Ta có: a$^{2}$+b$^{2}$ - c = (-$\frac{3}{2}$)$^{2}$+(-2)$^{2}$ + 1 = $\frac{29}{4}$ > 0. 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(-$\frac{3}{2}$; -2) và bán kính R = $\frac{\sqrt{29}}{2}$.

Vận dụng 1.

Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50:

(x-30)$^{2}$+(y-40)$^{2}$=50$^{2}$

Vận dụng 2.

a) Đường tròn (C) có tâm I(13; 4) và bán kính R =$\sqrt{16}$ = 4.

b) Thay tọa độ điểm A(11; 4) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

(11-13)$^{2}$+(4-4)$^{2}$=4<16 => Diễn viên A được chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm B(8; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

(8-13)$^{2}$+(5-4)$^{2}$=26>16 => Diễn viên B không được chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm C(15; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

(15-13)$^{2}$+(5-4)$^{2}$=5<16 => Diễn viên C được chiếu sáng.

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

HĐKP2:

a) $\underset{M_{0}M}{\rightarrow}$ = (x - x$_{0}$; y - y$_{0}$);  M0I = (a - x$_{0}$; b - y$_{0}$)

b) $\underset{M_{0}M}{\rightarrow}$. $\underset{M_{0}I}{\rightarrow}$ = (x - x$_{0}$). (a - x$_{0}$) + (y - y$_{0}$). (b - y$_{0}$) = 0

c) Phương trình $\underset{M_{0}M}{\rightarrow}$.$\underset{M_{0}I}{\rightarrow}$ = 0 là phương trình của đường thẳng $\Delta $.

⇒ Kết luận:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a;b ) tại điểm M$_{0}$(x$_{0}$;y$_{0}$) tnằm trên đường tròn là:

(x$_{0}$-a)(x-x$_{0}$)+(y$_{0}$-b)(y-y$_{0}$)=0 

Ví dụ 4: SGK-tr61,62

Thực hành 3.

Ta có: 4$^{2}$+6$^{2}$-2.4-4.6-20=0 nên A(4; 6)$ \in $ (C).

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(4; 6) là:

(1-4)(x-4)+(2-6)(y-6)=0

 <=> -3x-4y+36=0  

<=> 3x+4y-36=0

Vận dụng 3.

Đường tròn (C) có tâm I(1; 1).

Ta có: (1712-1)$^{2}$+(2-1)$^{2}$ = $\frac{169}{144}$

⇒ M ($\frac{17}{12}$; 2)$\in $ (C).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là:

(1-$\frac{17}{12}$)(x-$\frac{17}{12}$)+(1-2)(y-2)=0

 <=> $\frac{5}{12}$x+y-$\frac{373}{144}$=0

<=> 60x + 144y - 373 = 0