1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Khám phá 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Hãy so sánh khả năng xảy ra của hai biến cố

A: "Mặt xuất hiện có số chấm là số chẵn";

B: "Mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ".

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu của phép thử trên là: $\Omega$ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Ta có: A = {2; 4; 6} $\Rightarrow$ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

          B = {1; 3; 5} $\Rightarrow$ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

$\Rightarrow$ Khả năng xảy ra của hai biến cố là như nhau.

Thực hành 1: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a. "Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm";

b. "Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9".

Hướng dẫn giải:

a. Áp dụng quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là: n($\Omega$) = 6. 6 = 36

Gọi A là biến cố "Hai mặt xuất hiện cùng số chấm".

Ta có A = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

$\Rightarrow$ Số các kết quả thuận lợi cho A là n(A) = 6. Do đó, xác suất của biến cố A là:

P(A) = $\frac{6}{36}$ = $\frac{1}{6}$

b. Gọi B là biến cố "Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9".

Ta có: B = {(6; 3), (5; 4), (3; 6), (4; 5)}

$\Rightarrow$ Số các kết quả thuận lợi cho B là n(B) = 4. Do đó, xác suất của biến cố B là:

P(B) = $\frac{4}{36}$ = $\frac{1}{9}$

Vận dụng: Hãy tính xác suất của hai biến cố được nêu ra ở hoạt động khởi động của bài học.

Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ một hộp có chứa 5 bi xanh và 5 bi đỏ có cùng kích thước và trọng lượng. Biến cố lấy được 2 viên bi cùng màu hay 2 viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn? 

Hướng dẫn giải:

Số phần tử của không gian mẫu là n($\Omega$) = $C_{10}^{2}$ = 45

Gọi A là biến cố lấy được hai viên bi cùng màu. Số khả năng thuận lợi cho A là:

n(A) = $C_{5}^{2}$ + $C_{5}^{2}$ = 20

$\Rightarrow$ Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{20}{45}$ = $\frac{4}{9}$

Gọi B là biến cố lấy được hai viên bi khác màu. Số khả năng thuận lợi cho B là:

n(B) = $C_{5}^{1}$. $C_{5}^{1}$ = 25

$\Rightarrow$ Xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{25}{45}$ = $\frac{5}{9}$

Ta có: P(A) < P(B) $\Rightarrow$ Biến cố lấy được hai viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn.

2. TÍNH XÁC SUẤT BẰNG SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

Thực hành 2: Ba bạn Lan, Mai, Đào đặt thẻ học sinh của mình vào một hộp kín, sau đó mỗi bạn lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố "Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình".

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố "Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình".

Các kết quả có thể xảy ra được thể hiện ở sơ đồ sau:

Có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 2 kết quả thuận lợi cho A. Do đó:

P(A) = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

3. BIẾN CỐ ĐỐI

Khám phá 2: Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ra ngẫu nhiên cùng một lúc 3 thẻ. Tính xác suất biến cố tích các số ghi trên 3 thẻ đó là số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Trong các số từ 1 đến 10 có 5 số chẵn và 5 số lẻ.

Số phần tử của không gian mẫu là: n($\Omega$) = $C_{10}^{3}$ = 120

Gọi A là biến cố "Tích các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn", B là là biến cố "Tích các số ghi trên 3 thẻ là số lẻ".

Ta có tích của ba số lẻ là một số lẻ $\Rightarrow$ n(B) = $C_{5}^{3}$ = 10

$\Rightarrow$ Xác suất để biến cố B xảy ra là: P(B) = $\frac{10}{120}$ = $\frac{1}{12}$

$\Rightarrow$ Xác suất để biến cố A xảy ra là: P(A) = 1 - $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

Vậy xác suất của biến cố tích các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn là $\frac{11}{12}$.

Thực hành 3: Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng nhất. Tính xác suất của các biến cố:

a. "Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3";

b. "Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 4".

Hướng dẫn giải:

a. Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là: n($\Omega$) = $6^{3}$ = 216 

Gọi A là biến cố "Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3"

$\Rightarrow$ Biến cố đối của biến cố A là $\bar{A}$: "Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3".

Để tích của số chấm trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3 thì khi kết quả không xuất hiện mặt 3, 6.

$\Rightarrow$ Số kết quả thuận lợi cho $\bar{A}$ là: n($\bar{A}$) = $4^{3}$ = 64

$\Rightarrow$ Xác suất của biến cố A là: P(A) = 1 - P($\bar{A}$) = 1 - $\frac{64}{216}$ = $\frac{19}{27}$.

b. Gọi B là biến cố "Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt ba con xúc xắc lớn 4".

$\Rightarrow$ Biến cố đối của biến cố B là $\bar{B}$: "Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt ba con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4".

Vì xúc xắc có số chấm nhỏ nhất là 1 nên tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc phải lớn hơn 3.

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1

          4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1

$\Rightarrow$ Có 4 kết quả để tung ba con xúc xắc cho tổng nhỏ hơn hoặc bằng 4 $\Rightarrow$ n($\bar{B}$) = 4

$\Rightarrow$ Xác xuất của biến cố B là: P(B) = 1 - P($\bar{B}$) = 1 - $\frac{4}{216}$ = $\frac{53}{54}$.

Thực hành 4: Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra:

a. Có ít nhất 1 bi xanh.

b. Có ít nhất 2 bi đỏ.

Hướng dẫn giải:

a. Số phần tử của không gian mẫu là: n($\Omega$) = $C_{12}^{4}$ = 495

Gọi A là biến cố "Không lấy được bi xanh nào" $\Rightarrow$ n(A) = $C_{3}^{0}$. $C_{9}^{4}$ = 126

$\Rightarrow$ Xác suất để xảy ra biên cố A là: P(A) = $\frac{126}{495}$ = $\frac{14}{55}$

$\Rightarrow$ Xác suất để xảy ra biến cố "Trong 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh là": P($\bar{A}$) = 1 - $\frac{14}{55}$ = $\frac{41}{55}$

b. Gọi B là biến cố "Lấy được ít nhất 2 bi đỏ"

$\Rightarrow$ Biến cố đối của biến cố B là "Lấy được 1 viên bi đỏ hoặc không lấy được viên bi đỏ nào"

$\Rightarrow$ n(B) = $C_{12}^{4}$ - $C_{4}^{1}$. $C_{8}^{3}$ - $C_{8}^{4}$ = 201

$\Rightarrow$ Xác suất để xảy ra biến cố B là: P(B) = $\frac{201}{495}$ = $\frac{67}{165}$

4. NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ

Khám phá 3: Có một hạt gạo nếp nằm lẫn trong một cái thùng chứa 10 kg gạo tẻ. Lấy ngẫu nhiên một hạt gạo từ thùng. Theo bạn, hạt gạo lấy ra là gạo tẻ hay gạo nếp?

Hướng dẫn giải:

Hạt gạo lấy ra là gạo tẻ.