BÀI 2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Bài 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Hãy so sánh khả năng xảy ra của hai biến cố

A: "Mặt xuất hiện có số chấm là số chẵn";

B: "Mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ".

Giải rút gọn: 

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

A = {2; 4; 6} ⇒ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

B = {1; 3; 5} ⇒ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

⇒ Khả năng xảy ra của hai biến cố là như nhau.

Bài 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a. "Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm";

b. "Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9".

Giải rút gọn: 

n(Ω) = 6. 6 = 36

a. Gọi A là biến cố "Hai mặt xuất hiện cùng số chấm".

A = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

⇒ Xác suất của biến cố A là: P(A) = =

b. Gọi B là biến cố "Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9".

B = {(6; 3), (5; 4), (3; 6), (4; 5)}

⇒ Xác suất của biến cố B là: P(B) = =

Bài 3: Hãy tính xác suất của hai biến cố được nêu ra ở hoạt động khởi động của bài học.

Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ một hộp có chứa 5 bi xanh và 5 bi đỏ có cùng kích thước và trọng lượng. Biến cố lấy được 2 viên bi cùng màu hay 2 viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn? 

Giải rút gọn: 

n() = = 45

Gọi A là biến cố lấy được hai viên bi cùng màu. 

Số khả năng thuận lợi cho A là: n(A) = + = 20

Xác suất của biến cố A là: P(A) = =

Gọi B là biến cố lấy được hai viên bi khác màu. 

Số khả năng thuận lợi cho B là: n(B) = . = 25

Xác suất của biến cố B là: P(B) = =

Do P(A) < P(B) Biến cố B có khả năng xảy ra cao hơn.

2. TÍNH XÁC SUẤT BẰNG SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

Bài 1: Ba bạn Lan, Mai, Đào đặt thẻ học sinh của mình vào một hộp kín, sau đó mỗi bạn lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố "Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình".

Giải rút gọn: 

Gọi A là biến cố "Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình".

Các kết quả có thể xảy ra được thể hiện ở sơ đồ sau:

Có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 2 kết quả thuận lợi cho A. Do đó:

P(A) = =

3. BIẾN CỐ ĐỐI

Bài 1: Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ra ngẫu nhiên cùng một lúc 3 thẻ. Tính xác suất biến cố tích các số ghi trên 3 thẻ đó là số chẵn.

Giải rút gọn: 

n() = = 120

Gọi A là biến cố "Tích các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn", B là là biến cố "Tích các số ghi trên 3 thẻ là số lẻ".

Ta có tích của ba số lẻ là một số lẻ n(B) = = 10

Xác suất để biến cố B xảy ra là: P(B) = =

Xác suất để biến cố A xảy ra là:  P(A) = 1 - =

Bài 2: Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng nhất. Tính xác suất của các biến cố:

a. "Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3";

b. "Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 4".

Giải rút gọn: 

a) n() = = 216 

Gọi A là biến cố "Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3"

: "Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3".

Để tích của số chấm trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3 thì khi kết quả không xuất hiện mặt 3, 6.

Số kết quả thuận lợi cho là: n() = = 64

Xác suất của biến cố A là: P(A) = 1 - P() = 1 - = .

b) Gọi B là biến cố "Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt ba con xúc xắc lớn 4".

: "Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt ba con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4".

Vì xúc xắc có số chấm nhỏ nhất là 1 nên tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc phải lớn hơn 3.

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1

           4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1

Có 4 kết quả để tung ba con xúc xắc cho tổng nhỏ hơn hoặc bằng 4 n() = 4

Xác xuất của biến cố B là: P(B) = 1 - P() = 1 - = .

Bài 3: Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra:

a. Có ít nhất 1 bi xanh.

b. Có ít nhất 2 bi đỏ.

Giải rút gọn: 

a) n() = = 495

Gọi A là biến cố "Không lấy được bi xanh nào" n(A) = . = 126

Xác suất để xảy ra biến cố A là: P(A) = =

Xác suất để xảy ra biến cố : P() = 1 - =

b) Gọi B là biến cố "Lấy được ít nhất 2 bi đỏ"

: "Lấy được 1 viên bi đỏ hoặc không lấy được viên bi đỏ nào"

n(B) = - . - = 201

Xác suất để xảy ra biến cố B là: P(B) = =

4. NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ

Bài 1: Có một hạt gạo nếp nằm lẫn trong một cái thùng chứa 10 kg gạo tẻ. Lấy ngẫu nhiên một hạt gạo từ thùng. Theo bạn, hạt gạo lấy ra là gạo tẻ hay gạo nếp?

Giải rút gọn: 

Hạt gạo lấy ra là gạo tẻ.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Tung ba đồng xu cân đối và đồng chất. Xác định biến cố đối của mỗi biến cố sau và tính xác suất của nó.

a. "Xuất hiện ba mặt sấp";

b. "Xuất hiện ít nhất một mặt sấp".

Giải rút gọn: 

a) Gọi A là biến cố "Xuất hiện ba mặt sấp".

: "Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa".

Ta có: Số phần tử của không gian mẫu là: n() = = 8

A = {SSS} P(A) =

b. Gọi B là biến cố "Xuất hiện ít nhất một mặt sấp".

: "Xuất hiện ba mặt ngửa".

Ta có: = {NNN} P() =

P(B) = 1 - P() = 1 - = .

Bài 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a. "Tổng số chấm nhỏ hơn 10";

b. "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 3".

Giải rút gọn: 

n() = 6. 6 = 36

a) Gọi A là biến cố "Tổng số chấm nhỏ hơn 10".

: "Tổng số chấm lớn hơn hoặc bằng 10"

= {(4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 4), (6; 5), (6; 6)} n() = 6

Xác suất xảy ra biến cố A là: P(A) = 1 - P() = 1 - = 

b) Gọi B là biến cố "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 3".

Ta có: B = {(1; 3), (1; 6), (2; 3), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 3), (4; 6), (5; 3), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}

n(B) = 20 

Xác suất xảy ra biến cố B là: P(B) = =  .

Bài 3: Hộp thứ nhất đựng 1 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ và 1 thẻ vàng. Hộp thứ hai đựng 1 thẻ xanh và 1 thẻ đỏ. Các tấm thẻ có kích thước và khối lượng như nhau. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ.

a. Sử dụng sơ đồ hình cây, liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra.

b. Tính xác suất của biến cố "Trong hai thẻ lấy ra có ít nhất một thẻ đỏ".

Giải rút gọn: 

a.

Vậy có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra là: Ω = {Xanh - xanh, xanh - đỏ, đỏ - xanh, đỏ - đỏ, vàng - xanh, vàng - đỏ}.

b. Gọi A là biến cố "Trong hai thẻ lấy ra có ít nhất một thẻ màu đỏ".

⇒ A = {Xanh - đỏ, đỏ - xanh, đỏ - đỏ, vàng - đỏ} ⇒ n(A) = 4

⇒ Xác suất để xảy ra biến cố A là: P(A) = = .

Bài 4: Trong hộp có một số quả bóng màu xanh và màu đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. An nhận thấy nếu lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp thì xác xuất để hai quả này khác màu là 0,6. Hỏi xác xuất để hai quả bóng lấy ra cùng màu là bao nhiêu.

Giải rút gọn: 

Vì biến cố "Lấy được hai quả bóng cùng màu" là biến cố đối của biến cố "Lấy được hai quả bóng khác màu". 

Do đó, xác xuất để hai quả bóng lấy ra cùng màu là: 1 - 0, 6 = 0,4.

Bài 5: Năm bạn Nhân, Lễ, Nghĩa, Trí và Tín xếp hàng một cách ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất của biến cố:

a. "Nhân và Tín không đứng cạnh nhau";

b. "Trí không đứng ở đầu hàng".

Giải rút gọn: 

n() = 5! = 120

a) Gọi A là biến cố "Nhân và Tín đứng cạnh nhau". 

Coi Nhân và Tín là một nhóm thì có 2! cách sắp xếp hai bạn này trong nhóm. Xếp nhóm Nhân và Tín với 3 người còn lại thì có 4! cách sắp xếp. 

Số các kết quả thuận lợi cho A là: n(A) = 2!. 4! = 48

Xác suất của biến cố A là: P(A) = =

Xác suất của biến cố "Nhân và Tín không đứng cạnh nhau" là: P = 1 - =

b. Gọi B là biến cố "Trí đứng ở đầu hàng".

Khi đó, có 2 cách sắp xếp Trí (đứng đầu hàng bên này và đầu hàng bên kia) và 4! cách sắp xếp 4 người còn lại n(B) = 4! = 24

P(B) = =

Xác suất của biến cố "Trí không đứng ở đầu hàng" là: P = 1 - =