BÀI 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Bạn Nam để dành được 700 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, Nam đã ủng hộ x tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng, y tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng từ tiền để dành của mình.

a. Biểu diễn tổng số tiền đã ủng hộ theo x và y.

b. Giải thích tại sao ta lại có bất đẳng thức 20x + 50y ≤ 700

Giải rút gọn: 

a. 20x + 50y ( nghìn đồng)

b. Vì Nam để dành được 700 nghìn đồng =>  số tiền ủng hộ ≤ 700 nghìn đồng.

Bài 2: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a. 2x - 3y + 1 ≤ 0;                             b. x - 3y + 1 ≥ 0;

c. y - 5 > 0;                                          d. x - + 1 > 0

Giải rút gọn: 

a, b, c là bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

2. NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Trường hợp nào sau đây thỏa mãn tình huống được nêu trong Khám phá 1?

Trường hợp 1: Nam ủng hộ 2 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 3 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.

Trường hợp 2: Nam ủng hộ 15 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 10 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.

Giải rút gọn: 

+) TH1 : 20.2 + 50.3 = 190 < 700 ( thỏa mãn)

+) TH2 : 20.15 + 50.10 = 800 > 700 ( không thỏa mãn)

Bài 2: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 4x - 7y - 28 ≥ 0?

a. (9; 1)                    b. (2; 6)                    c. (0; - 4)

Giải rút gọn: 

a. 4. 9 - 7. 1 - 28 = 1 > 0 => (9; 1) là nghiệm của bất phương trình.

b. 4. 2 - 7. 6 - 28 = -62 < 0 => (2; 6) không là nghiệm của bất phương trình.

c. 4. 0 - 7. (-4) - 28 = 0 => (0; - 4) là nghiệm của bất phương trình.

Bài 3: Cho biết mỗi 100g thịt bò chứa khoảng 26,1g protein, một quả trứng nặng 44g chứa khoảng 5,7g protein. Giả sử có một người mỗi ngày cần không quá 60g protein. Gọi số gam thịt bò và số quả trứng mà người đó ăn trong một ngày lần lượt là x và y.

a. Lập bất phương trình theo x, y diễn tả giới hạn về lượng protein trong khẩu phần ăn hàng ngày của người đó.

b. Dùng bất phương trình ở câu a) để trả lời hai câu hỏi sau:

• Nếu người đó ăn 150g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44g) trong một ngày thì có phù hợp không?

• Nếu người đó ăn 200g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44g) trong một ngày thì có phù hợp không?

Giải rút gọn: 

a. 0,261x + 5,7y ≤ 60

b. +) 0,261.150 + 5,7 .2 = 50,55 < 60 => phù hợp

    +) 0,261.200 + 5,7.2 = 63,6 > 60 => không phù hợp

3. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Cho bất phương trình 2x - y + 1 < 0.

a. Vẽ đường thẳng y = 2x + 1.

b. Các cặp số (-2; 0), (0; 0), (1; 1) có là nghiệm của bẩt phương trình đã cho không?

Giải rút gọn: 

a.

b. +) 2.(-2) -0 + 1 = -3 < 0 => (-2;0) là nghiệm của bất phương trình

    +) 2.0 – 0 + 1 = 1 > 0 => (0;0) không là nghiệm của bất phương trình

    +) 2.1 – 1 + 1 = 2 > 0 => ( 1;1) không là nghiệm của bất phương trình

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a. 2x + y - 2 ≤ 0;

b. x - y - 2 ≥ 0.

Giải rút gọn: 

a. Vẽ đường thẳng đi qua A(0; 2) và B(1; 0).

    Điểm O(0; 0) ∉ d và 2.0 +0 - 2 = -2 < 0.

    => Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, chứa gốc tọa độ O 

b. Vẽ đường thẳng đi qua A(0; -2) và B(2; 0).

    Điểm O(0;0) ∉ d' và 0 - 0 - 2 < 0.

=> Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ d', không chứa gốc tọa độ O 

Bài 3: Biểu diễn miền nghiệm của hai bất phương trình sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy:

a. y ≥ 2;                                              b. x ≤ 4.

Giải rút gọn: 

a. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ f : y = 2, không chứa gốc tọa độ O. 

b. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ f' : x = 4, chứa gốc tọa độ O.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x - 2y + 6 > 0

a. (0; 0) có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho cho hay không?

b. Chỉ ra ba cặp số (x; y) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

c. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng Oxy.

Giải rút gọn: 

a. (0; 0) là nghiệm của bất phương trình vì 0 – 2.0 + 6 = 6 > 0

b. (0; 1); (1; 1); (1; 2).

c. Qua 2 điểm A (-6;0) ; B(0;3) vẽ đường thẳng d: x - 2y + 6 = 0 

    Điểm O(0; 0) ∉ d và 0 - 2. 0 + 6 > 0 

=> miền nghiệm là nửa mặt phẳng không kể bờ d, chứa gốc tọa độ O 

Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

a. -x + y + 2 > 0;

b. y + 2 ≥ 0;

c. -x + 2 ≤ 0.

Giải rút gọn: 

a. Qua điểm A( 2;0) và B(0;-2) vẽ đường thẳng d: -x + y + 2 = 0 

    Điểm O(0;0) ∉ d và -0 + 0 + 2 = 2 > 0

    => Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không kể bờ d, chứa gốc tọa độ O 

b. Qua điểm A(0; -2) vẽ đường thẳng f: y + 2 = 0 ( // Ox).

    Điểm O(0;0) ∉ f và 0 + 2 = 2 > 0 

    => Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ f, chứa gốc tọa độ O 

c. Qua điểm B(2;0) vẽ đường thẳng t: -x + 2 = 0 ( // Oy).

    Điểm O(0;0) ∉ t và -0 + 2 = 2 > 0

   =>Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ t, không chứa gốc tọa độ O

Bài 3. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

a. -x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x);                                  b. 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3

Giải rút gọn: 

a. x + 2y -4 < 0

Qua 2 điểm A(4;0) ; B(0;2) vẽ đường thẳng d: x + 2y - 4 = 0 

Điểm O(0; 0) ∉ d và 0 + 2. 0 - 4 = -4 < 0.

=> miền nghiệm là nửa mặt phẳng không kể bờ d, chứa gốc tọa độ O.

b.  x - 2y + 4 > 0

Qua 2 điểm M(-4;0) ; N(0;2) vẽ đường thẳng f: x - 2y + 4 = 0 

Điểm O(0;0) ∉ f và 0 - 2. 0 + 4 = 4 > 0

=> Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không kể bờ f và chứa gốc tọa độ O.

Bài 4. Bạn Cúc muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại I cần 30g bột cam, còn một lít nước cam loại II cần 20g bột cam. Gọi x và y lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha chế được. Biết rằng Cúc chỉ có thể không dùng quá 100g bột cam. Hãy lập các bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn Cúc có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Giải rút gọn: 

Ta có : 30x + 20y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0.

Qua 2 điểm (; 0) ; (0; 5) vẽ đường thẳng d: 30x + 20y - 100 = 0 

Điểm O(0;0) ∉ d và 30. 0 + 20. 0 - 100 = -100 < 0. 

=> Miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ d và chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên Ox, kể cả bờ Ox. 

Miền nghiệm của x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải Oy, kể cả bờ Oy.

Bài 5. Miền không gạch chéo (không kể bờ d) trong mỗi hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Giải rút gọn: 

a. d đi qua hai điểm (-5; 0) và (0; 2) => d: + = 1 <=> d:  -2x + 5y - 10 = 0

Điểm O(0;0) ∉ d và -2. 0 + 5. 0 - 10 = -10 < 0.

Vì miền nghiệm không kể bờ d và chứa gốc O => -2x + 5y - 10 < 0.

b. d đi qua hai điểm (3; 0) và (0; 2) => d: + = 1 <=> 2x + 3y - 6 = 0

Điểm O(0; 0) ∉ d và 2. 0 + 3. 0 - 6 = -6 < 0. 

Vì miền nghiệm không kể bờ d và không chứa gốc O =>2x + 3y - 6 > 0.