BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 9

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

a. Chứng minh ABCD là hình vuông. 

b. Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Giải rút gọn: 

a) Ta có: = (-1; 3) =   =

= (-1; 3) = =

= AB // CD và AB = DC ABCD là hình bình hành.

Lại có: = (3; 1) . = -1. 3 + 3. 1 = 0

Hình bình hành ABCD là hình vuông. 

b) I là trung điểm của AC I = (; ) I = (3; 3)

Bài 2: Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Giải rút gọn: 

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

K là trung điểm của AB K = (; 0); H là trung điểm của CD H = (0; )

I = (; )

Ta có: = (a - ; -) = (; -)

= ( -; c - ) = (-; )

Vì IA = IC (= R) + = +

+ = +

=

ab = cd ab - cd = 0

Ta có: = (-a; -c), = (-b; d)

. = (-a).(-b) - c.d = ab - cd = 0 (cmt)

hay EF BD 

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:

a. d₁: x−y+2=0 và d₂: x+y+4=0;

b. d₁:   và d₂: x−3y+2=0;

c. d₁:  và d₂:  

Giải rút gọn: 

a) Đường thẳng và có = (1; -1) và = (1; 1).

Ta có: . = 1. 1 + (-1). 1 = 0 nên  

(, ) = .

Giao điểm M của và là nghiệm của hệ phương trình: 

Vậy và cắt nhau tại M(-3; -1).

b) Ta có: = (1; 2) là vectơ chỉ phương của = (2; -1) 

Phương trình tổng quát của là:

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là = (1; -3)

Ta có: và là hai vectơ không cùng phương.

và cắt nhau. Giao điểm M của và là nghiệm của hệ phương trình:

=> cos(, ) = = (, ) =

Vậy cắt tại điểm M(; ) và (, ) = .

c) Ta có phương trình tổng quát: : và :

. = 3. 1 + 1. (-3) = 0 hay (, ) = .

Giao điểm M của đường thẳng và là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy ⊥ và cắt nhau tại M(; ).

Bài 4: Tính bán kính của đường tròn tâm M(-2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng:  d: 14x−5y+60=0

Giải rút gọn: 

Đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x – 5y + 60 = 0 nên bán kính đường tròn tâm M là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

=> R = d(M; d) = =

Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 6x+8y−13=0

Δ′: 3x+4y−27=0

Giải rút gọn: 

Ta có: = //

Lấy điểm A(0; ) .

Ta có: d(, ) = d(A; ) = =

Bài 6: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a. (x−2)²+(y−7)²=64;

b. (x+3)²+(y+2)²=8;

c. x²+y²−4x−6y−12=0.

Giải rút gọn: 

a. Tâm I(2; 7) và R = 8.

b. Tâm I(-3; -2) và R = 2.

c. Phương trình có dạng x² + y²−2ax−2by+c = 0 với a = 2, b = 3, c = -12

Ta có: a²+b²−c = 2²+3²+12 = 25

Vậy đường tròn có tâm I(2; 3) và R = = 5.

Bài 7: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a. Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;

b. Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c. Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x+y−16=0;

d. Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Giải rút gọn: 

a)

b) R = IA = =

Phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = là:

c) Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng:

Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y - 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

Vậy phương trình đường tròn là:

d) Phương trình đường tròn tâm I(m; n) có dạng:

Vì O(0;0) (C) nên thay tọa độ O(0; 0) => c = 0

Vì (C) cắt trục hoành có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung có tọa độ (0; b) nên ta có:

 (vì a 0, b 0)

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x−5)²+(y−3)² = 100 tại điểm M(11; 11)

Giải rút gọn: 

Ta có: (C) có tâm I(5; 3) và R = 10

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

Bài 9: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a. =1;

b. =1;

c. x²+16y²=16

Giải rút gọn: 

a. (E): = 1

⇒ a = 10; b = 6 ⇒ c = 8

Tọa độ các tiêu điểm là: (-8; 0) và (8; 0)

Tọa độ các đỉnh là: (-10; 0), (10; 0), (0; -6); (0; 6)

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 10 = 20; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 6 = 12.

b. (E): =1

⇒ a = 5; b = 4 ⇒ c  = 3

Tọa độ các tiêu điểm là: (-3; 0) và (3; 0)

Tọa độ các đỉnh là: (-5; 0), (5; 0), (0; -4); (0; 4)

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 5 = 10; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 4 = 8.

c. Ta có: x² + 16y² = 16 ⇔ = 1

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c  =  

Tọa độ các tiêu điểm là: (-; 0) và (; 0)

Tọa độ các đỉnh là: (-4; 0), (4; 0), (0; -1); (0; 1)

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 1 = 2.

Bài 10: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a. Đỉnh (5; 0), (0; 4);

b. Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0);

c. Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12;

d. Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12.

Giải rút gọn: 

a) Đỉnh (5; 0), (0; 4) a = 5; b = 4.

Phương trình elip (E) là: .

b) Đỉnh (5; 0) a = 5; tiêu điểm (3; 0) c = 3

b  = = 4 Phương trình elip (E) là: .

c) Ta có: 2a = 16; 2b = 12 a = 8; b = 6

Phương trình elip (E) là: .

d) Ta có: 2a = 20; 2c = 12 a = 10; c = 6 

b = = = 8 Phương trình elip (E) là: .

Bài 11: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a. =1;

b. =1;

c. x²−16y²=16;

d. 9x²−16y²=144.

Giải rút gọn: 

a. =1

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c = 5

Tọa độ các tiêu điểm là (-5; 0), (5; 0)

Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.

b.  =1

⇒ a = 8; b = 6 ⇒ c = 10

Tọa độ các tiêu điểm là (-10; 0), (10; 0)

Tọa độ các đỉnh là (-8; 0), (8; 0)

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 8 = 16; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 6 = 12.

c. x² −16y²  = 16 ⇔ y²  = 1

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c =

Tọa độ các tiêu điểm là (-; 0), (; 0)

Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 1 = 2.

d. 9x²−16y² = 144 ⇔ = 1

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c 5

Tọa độ các tiêu điểm là (-5; 0), (5; 0)

Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.

Bài 12: Viết phương trình chính tắc của hypebol thoả mãn từng điều kiện sau:

a. Đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0);

b. Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6.

Giải rút gọn: 

a. Đỉnh (3; 0) ⇒ a = 3; tiêu điểm (5; 0) ⇒  c = 5.

⇒ b = 4 ⇒ Phương trình hypebol là: =1.

b. 2a = 8; 2b = 6 ⇒ a = 4; b = 3

⇒ Phương trình hypebol là: =1.

Bài 13: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a. y²=12x;                       b. y²=x.

Giải rút gọn: 

a. y² = 12x = 2.6.x ⇒ p = 6

⇒ Tọa độ tiêu điểm là (3; 0) và phương trình đường chuẩn là x+3 = 0.

b. y²  = x = 2. . x ⇒ p =

⇒ Tọa độ tiêu điểm là ( ; 0) và phương trình đường chuẩn là x+= 0.

Bài 14: Viết phương trình chính tắc của parabol thảo mãn từng điều kiện sau:

a. Tiêu điểm (4; 0);

b. Đường chuẩn có phương trình x=−;

c. Đi qua điểm (1; 4);

d. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.

Giải rút gọn: 

a. Tiêu điểm (4; 0) ⇒ p = 8

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²  = 2.8.x = 16x.

b. Đường chuẩn có phương trình x = − ⇒ p =

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2. . x = x.

c. Phương trình parabol (P) có dạng: y² = 2px.

Vì (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình của (P), ta được:

4² = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²  = 2.8.x = 16x.

d. Ta có: F(; 0), phương trình đường chuẩn Δ: x += 0

d(F, Δ) = 8 ⇔ = 8 ⇔ p = 8

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²  = 2.8.x = 16x.

Bài 15: Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như Hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5cm. Cho biết bề sâu của gương là 45cm, tính khoảng cách AB.

Giải rút gọn: 

Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10

⇒ Phương trình parabol (P): y² = 20x

Ta có điểm A(45; y_A) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:

= 20. 45 ⇒ y_A = 30

⇒ AB = 2. 30 = 60 (cm).

Bài 16: Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (Hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một dường ống nằm ở tiêu điểm của parabol.

a. Viết phương trình chính tắc của parabol.

b. Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.

Giải rút gọn: 

a.

Ta có: A(1; 3) (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

= 2p. 1 p =

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: .

b) Tâm của đường ống chính là tiêu điểm của parabol.

Khi đó tọa độ tiêu điểm F = (; 0) = (; 0)

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol là m.

Bài 17: Cổng chào của một thành phố có dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2 m và khoảng cách từ chân dường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến chân cổng gần nhất là 0,5m Tính chiều cao của cổng.

Giải rút gọn: 

Gọi phương trình của parabol (P) có dạng: y²=2px.                                                                                                                    

Gọi chiều cao của cổng là OH = h.

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 192 AH = 96 

điểm A có tọa độ (h; 96).

Ta có: AC = 0,5; DH = MC = 2 điểm M có tọa độ (h - 2; 95,5).

Vì A và M thuộc parabol (P) nên ta có hệ phương trình:

= h = 192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.

Bài 18: Một người đứng ở giữa một tấm ván gỗ đặt trên một giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng giàn giáo dài 16m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3cm (Hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol.

a. Giả sử tấm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.

b. Điểm có độ võng 1 cm cách tấm ván gỗ bao xa?

Giải rút gọn: 

a.

Gọi phương trình của parabol (P) có dạng: y²=2px.                                                                                                                    

Điểm A có tọa độ (3; 8).

Vì A thuộc (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

8² = 2p. 3 ⇒ p =

⇒ Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y²= x.

b. Ta có: MI = 1 ⇒ M(2; y_M)

Vì M ∈ (P) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình (P), ta được: 

= . 2 ⇒ y_M = 

⇒ M(2; ) ⇒ OM =≈ 6,83.

Vậy điểm M có độ võng 1 cm cách tấm ván gỗ khoảng 6,83m.