BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON

KHỞI ĐỘNG

Bài 1: Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

; .

Với số tự nhiên n>3 thì công thức khai triển biểu thức (a+b)ⁿ sẽ như thế nào?

Giải rút gọn: 

Bài 1:

a. Xét công thức khai triển (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

1. Liệt kê các số hạng của khai triển trên

2. Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

3. Tính giá trị của (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b. Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a+b)⁴.

(a+b)⁴=(a+b).(a+b)³=?=?a⁴+?a³b+?a²b²+?ab³+?b⁴

Tính giá trị của rồi so sánh với các hệ số của khai triển trên.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu

c. Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a+b)⁵ . Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Giải rút gọn: 

a)

i. ; ; ; .

ii. 1; 3; 3; 1

iii.

b)

Ta có:  

Ta triển khai được:

c)  

Bài 2: Khai triển các biểu thức sau:

a.

b.

Giải rút gọn: 

a)

b)

Bài 3: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

a. = 81 (a)

b. = 1 (b)

Giải rút gọn: 

a)  

= 81 = VP (đpcm)

b)  

 = 1 = VP (đpcm)

Bài 4: Trên quầy còn 4 vé sổ xố khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Giải rút gọn: 

Tổng số lựa chọn mua một số vé của khách là: 

+ + + +  

=

= (1+1)⁴ = 2⁴ = 16

Vậy khách hàng có 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a.

b.

Giải rút gọn: 

a.

b.

Bài 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a. 

b.  +

c.

Giải rút gọn: 

a.

.

b.  +

Khi đó:

+

c.

Bài 3: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x−2)⁵

Giải rút gọn: 

Vậy hệ số trong khai triển là 1080

Bài 4:  Chứng minh rằng:

Giải rút gọn: 

Ta có:

(đpcm)

Bài 5: Cho A={a₁;a₂;a₃;a₄;a₅} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A.

Giải rút gọn: 

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử   là một tổ hợp chập k của A. 

Tập con số lẻ 1 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5 Có:

Tập con số lẻ 3 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5 Có:

Tập con số lẻ 5 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5 Có:

Số tập con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng: + +  (1)

Tập con số chẵn 0 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5 Có:

Tập con số chẵn 2 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5 Có:

Tập con số chẵn 4 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5 Có:

Số tập con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A bằng:   + + (2)

Có:   = ; = ; = (3)

Từ (1); (2) và (3) số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A (đpcm)