CHƯƠNG VIII. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON

HĐKP:

a)

i. Các số hạng của khai triển trên là: a$^{3}$; 3a$^{2}$b; 3ab$^{2}$; b$^{3}$.

ii. Các hệ số của khai triển trên: 1; 3; 3; 1

iii. C$_{3}^{0}$=1;C$_{3}^{1}$=3;C$_{3}^{2}$=3;C$_{3}^{3}$=1

b) 

(a+b)$^{4}$=(a+b).(a+b)$^{3}$=(a+b)$^{4}$

=1a$^{4}$+4a$^{3}$b+6a$^{2}$b$^{2}$+4ab$^{3}$+1b$^{4}$ 

C$_{4}^{0}$=1;C$_{4}^{1}$=4;C$_{4}^{2}$=6;C$_{4}^{3}$=4;C$_{4}^{3}$=4

Giá trị của C$_{4}^{0}$;C$_{4}^{1}$;C$_{4}^{2}$;C$_{4}^{3}$;C$_{4}^{4}$ lần lượt bằng với các hệ số của khai triển trên.

(a+b)$^{4}$=C$_{4}^{0}$a$^{4}$+C$_{4}^{1}$a$^{3}$b+C$_{4}^{2}$a$^{2}$b$^{2}$+C$_{4}^{3}$ab$^{3}$+C$_{4}^{4}$b$^{4}$

c) Dự đoán: 

(a+b)$^{5}$=C$_{5}^{0}$a$^{5}$+C$_{5}^{1}$a$^{4}$b+C$_{5}^{2}$a$^{3}$b$^{2}$+C$_{5}^{3}$a$^{2}$b$^{3}$+C$_{5}^{4}$ab$^{4}$+C$_{5}^{5}$b$^{5}$ 

Kết luận:

(a+b)$^{4}$=C$_{4}^{0}$a$^{4}$+C$_{4}^{1}$a$^{3}$b+C$_{4}^{2}$a$^{2}$b$^{2}$+C$_{4}^{3}$ab$^{3}$+C$_{4}^{4}$b$^{4}$

=a$^{4}$+4a$^{3}$b+6a$^{2}$b$^{2}$+4ab$^{3}$+b$^{4}$ 

(a+b)$^{5}$=C$_{5}^{0}$a$^{5}$+C$_{5}^{1}$a$^{4}$b+C$_{5}^{2}$a$^{3}$b$^{2}$+C$_{5}^{3}$a$^{2}$b$^{3}$+C$_{5}^{4}$ab$^{4}$+C$_{5}^{5}$b$^{5}$ 

=a$^{5}$+5a$^{4}$b+10a$^{3}$b$^{2}$+5ab$^{2}$+b$^{5}$ 

Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (nhị thức Newton) (a+b)$^{n}$ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý:

Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (a+b)n với n = 0; 1; 2; 3; ... được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như bên. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên được gọi là tam giác Pascal (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 -1662).

Ví dụ 1: SGK – tr34

Ví dụ 2: SGK – tr34

Ví dụ 3: SGK – tr34

Thực hành 1:

a)

(x-2)$^{4}$=C$_{4}^{0}$x$^{4}$+C$_{4}^{1}$x$^{3}$(-2)+C$_{4}^{2}$x$^{2}$(-2)$^{2}$+C$_{4}^{3}$x(-2)$^{3}$+C$_{4}^{4}$(-2)$^{4}$

=x$^{4}$-8x$^{3}$b+24x$^{2}$b$^{2}$-32x$^{3}$+16$^{4}$ 

b)(x+2y)$^{5}$=C$_{5}^{0}$x$^{5}$+C$_{5}^{1}$x$^{4}$(2y)+C$_{5}^{2}$x$^{3}$(2y)$^{2}$+C$_{5}^{3}$x$^{2}$(2y)$^{3}$+C$_{5}^{4}$x(2y)$^{4}$+C$_{5}^{5}$(2y)$^{5}$ 

=x$^{5}$+10x$^{4}$b+40x$^{3}$y$^{2}$+80x$^{2}$y$^{3}$+80xy$^{4}$+32$^{5}$

Thực hành 2:

Sử dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

Có: 

(1-x)$^{4}$= C$_{4}^{0}$+C$_{4}^{1}$x+C$_{4}^{2}$x$^{2}$+C$_{4}^{3}$x$^{3}$+C$_{4}^{4}$x$^{4}$

a)

VT(a) = C$_{4}^{0}$.1$^{4}$+C$_{4}^{1}$.1$^{3}$.2+C$_{4}^{2}$.1$^{2}$.2$^{2}$+C$_{4}^{3}$.1.2$^{3}$+C$_{4}^{4}$.2$^{4}$ 

=(1+2)$^{4}$ = 81 = VP(a)

b) Có: 

VT(b)=C$_{4}^{0}$.1$^{4}$+C$_{4}^{1}$.1$^{3}$.(-2)+C$_{4}^{2}$.1$^{2}$.(-2)$^{2}$+C$_{4}^{3}$.1.(-2)$^{3}$+C$_{4}^{4}$.(-2)$^{4}$ 

=(1-2)$^{4}$  = 1 = VP(b)

Vận dụng:

TH1: Không mua vé nào

C$_{4}^{0}$ = 1 (cách)

TH2: Mua 1 vé

=> Chọn mua 1 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 1 của 4 vé Có C$_{4}^{1}$ = 4 (cách)

TH3: Mua 2 vé

=> Chọn mua 2 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 2 của 4 Có C$_{4}^{2}$ = 6 (cách)

TH4: Mua 3 vé

=> Chọn mua 3 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 3 của 4 Có C$_{4}^{3}$ = 4 (cách)

TH5: Mua 4 vé

=> Chọn mua 4 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 4 của 4 Có C$_{4}^{4}$ = 1 (cách)

=> Áp dụng quy tắc cộng:

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (cách)