BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

KHỞI ĐỘNG

Bài 1: Một nông trại tưới nước theo phương pháp vòi phun xoay vòng trung tâm. Cho biết tâm một vòi phun được đặt tại tọa độ (30; 40) và vòi có thể phun xa tối đa 50m. Làm thế nào để viết phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi này có thể phun tới?

Giải rút gọn: 

Đó là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50: 

(x−30)²  + (y−40)²  = 50²

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng Oxy.

Giải rút gọn: 

IM =

Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4;

b. (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R = 8;

c. (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3).

Giải rút gọn: 

a)

b)

c) Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C). 

Phương trình đường tròn C có dạng:

Do (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3) nên ta có hệ phương trình:

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

Bài 3: Phương trình nào sao đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a. x²+y²−2x−4y−20=0;                         b. (x+5)²+(y+1)²=121

c. x²+y²−4x−8y+5=0;                           d. 2x²+2y²+6x+8y−2=0

Giải rút gọn: 

a) Phương trình có dạng: với a = 1; b = 2; c = -20.

Ta có: = . 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và R = = 5.

b) Phương trình có dạng tổng quát của phương trình đường tròn.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(-5; -1) và R = 11.

c) Phương trình có dạng: với a = 2; b = 4; c = 5.

Ta có: = . 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; 4) và R = .

d)

Phương trình có dạng: với a =; b = -2; c = -1.

Ta có: - c = + 1 = > 0. 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(; -2) và R = .

Bài 4: Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.

Giải rút gọn: 

Theo giả thiết ta có đây là đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50, vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:

(x−30)²  + (y−40)²  = 50²

Bài 5: Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ để đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu sáng đang rọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình (x - 13)² + (y - 4)² = 16.

a. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

b. Cho biết tọa độ trên sân khấu của ba diễn viên như sau: A(11; 4), B(8; 5), C(15; 5). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?

Giải rút gọn: 

a) Tâm I(13; 4) và bán kính R = 4.

b) Thay tọa độ điểm A(11; 4) vào phương trình đường tròn (C), ta được: Diễn viên A được chiếu sáng.

Tương tự với tọa độ điểm B(8; 5), ta được: Diễn viên B không được chiếu sáng.

Tương tự tọa độ điểm C(15; 5), ta được: Diễn viên C được chiếu sáng

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho điểm M₀(x₀;y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) và cho điểm M(x; y) tùy ý trong mặt phẳng Oxy. Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀.

a. Viết tọa độ của hai vectơ và

b. Viết biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ và

c. Phương trình . =0 là phương trình của đường thẳng nào?

Giải rút gọn: 

a) = (x - ; y - );  = (a - ; b - )

b) . = (x - ). (a - ) + (y - ). (b - ) = 0

c) Là phương trình của đường thẳng .

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x²+y² - 2x - 4y - 20 = 0 tại điểm A(4; 6).

Giải rút gọn: 

x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0

⇔ x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 25

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 5²

=> Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và R = 5

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(4; 6) là:

⇔ - 3(x – 4) – 4(y – 6) = 0

Bài 3: Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn (C) có phương trình:    (x−1)² + (y−1)² =

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm M(; 2) thì buông đĩa (Hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M.

Giải rút gọn: 

Đường tròn (C) có tâm I(1; 1).

Ta có: =  M (; 2) (C).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là:

60x + 144y - 373 = 0

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a. x²+y²−6x−8y+21=0;

b. x²+y²  −2x+4y+2=0;

c. x²+y² −3x+2y+7=0;

d. 2x²+2y²+x+y−1=0

Giải rút gọn: 

a) Phương trình có dạng với a = 3, b = 4, c = 21

Ta có: = . 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và R = = 2.

b) Phương trình có dạng với a = 1, b = -2, c = 2

Ta có: = . 

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và R = .

c) Phương trình có dạng với a = , b = -1, c = 7

Ta có: = = < 0. 

Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d) y² = 0.

Phương trình có dạng - 2ax - 2by + c = 0 với a = , b =  , c = 

Ta có: - c = = > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I() và R =

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;

b. (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);

c. (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x−12y+11=0;

d. (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Giải rút gọn: 

a)

b) Tâm I là trung điểm của MN I = (6; 1)

Ta có: R = MI = =

Phương trình đường tròn (C) là:

c) Ta có: R = d(I, d) = =

Phương tròn đường tròn (C) là:  

d) Ta có: R = AB = =

Phương trình đường tròn (C) là:  

Bài 3: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a. M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b. A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)

Giải rút gọn: 

a) Phương trình đường tròn có dạng .

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4), ta được hệ phương trình:

Vậy phương trình đường tròn là:

b) Phương trình đường tròn có dạng .

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0), ta được hệ phương trình:

Vậy phương trình đường tròn là:

Bài 4: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Giải rút gọn: 

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Vì đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2) nên a = b và R = a ⇒ Phương trình đường tròn (C) là: (x−a)²+(y−a)²=a²

Ta có A(4; 2) ∈ (C) nên (4−a)²+(2−a)²=a²

⇔ 16 - 8a + a² + 4 - 4a + a² = a²

⇔ a² - 12a + 20 = 0 ⇔ a = 10 hoặc a = 2

Vậy (C): (x−10)²+(y−10)² = 100 hoặc (x−2)²+(y−2)²  = 4

Bài 5: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²−2x−4y−20=0.

a. Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x+3y+2022 = 0

Giải rút gọn: 

a) Ta có:

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = = 5

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là: 

c) Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

: (c 2022)

Ta có: R = d(I; ) = 5 = 5 

|10 + c| = 25 c = 15 hoặc c = -35

Vậy : hoặc :

Bài 6: Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào.

a. Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b. Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Giải rút gọn: 

a) 

Chọn hệ trục tọa đô sao cho tâm của hình bán nguyệt có tọa độ 0(0; 0) và đỉnh của cổng có tọa độ A(0; 4,2). 

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 4,2 là: (với y ≥ 0).

b) Thay x = 2,2, ta được y = 3,58 > 2,6

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.