BÀI 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU

1. SỐ TRUNG BÌNH

Bài 1: Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10, còn của các bạn Tổ 2 là 10; 6; 9; 9; 8; 9. Theo em, tổ nào có kết quả kiểm tra tốt hơn tại sao?

Giải rút gọn: 

Điểm trung bình tổ 1 là : ( 6 + 10 + 6 + 8 + 7 + 10) : 6 = 7,83 

Điểm trung bình tổ 2 là : (10 + 6 + 9 + 9 + 8 + 9) : 6 = 8,5

=> Tổ 2 có kết quả kiểm tra tốt hơn

Bài 2: Thời gian chạy 100 mét (đơn vị: giây) của các bạn học sinh ở hai nhóm A và B được ghi lại ở bảng:

Nhóm nào có thành tích chạy tốt hơn?

Giải rút gọn: 

Số giây chạy trung bình các bạn nhóm A là :

           ( 12,2 + 13,5 + 12,7 + 13,1 + 12,5 + 12,9 + 13,2 + 12, 8 ) : 8 = 12,86 ( giây)

Số giây chạy trung bình các bạn nhóm B là :

          ( 12,1 + 13,4 + 13,2 + 12,9 + 13,7) : 5 = 13,06 ( giây)

=> Các bạn nhóm A có thành tích chạy tốt hơn

Bài 3: Số bàn thắng mà một đội bóng ghi được ở mỗi trận đấu trong một mùa giải được thống kê lại ở bảng sau:

Hãy xác định số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải.

Giải rút gọn: 

Số bàn thắng trung bình là:    ≈ 1,65 (bàn thắng).

2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ

Bài 1: Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

a. Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó.

b. Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Giải rút gọn: 

a. Số sách trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc là: ≈ 4,4 (quyển)

  Số sách trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc là: = 4 ( quyển)

b. Các bạn ở Tổ 2 chăm đọc sách hơn các bạn ở Tổ 1.

Bài 2: Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.

Giải rút gọn: 

Sắp xếp số liệu nhóm A theo thứ tự không giảm : 12,2; 12,5; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,2; 13,5 => Me = (12,8 + 12,9) : 2 = 12,85

Sắp xếp số liệu nhóm B theo thứ tự không giảm : 12,1; 12,9; 13,2; 13,4; 13,7.

 => Me = 13,2.

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm là : 0; 0; 0; 0; 0 ; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2 ; 3; 3; 3; 4; 4; 6 => Me = ( 1 + 1 ) : 2 = 1

Bài 3: Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Giải rút gọn: 

Sắp xếp theo thứ tự không giảm: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69  => Q₂ = (58 + 59) : 2 = 58,5.

Nửa số liệu bên trái :50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58 => Q₁=(54+56) :2 = 55

Nửa số liệu bên phải :59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69 =>Q₃ =(64+65) : 2 = 64,5

=> Các ngưỡng để phân nhóm là : 55; 58,5 và 64,5.

Bài 4: Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a. 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7.

b. 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Giải rút gọn: 

a. Sắp xếp lại: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19 => Q₂ = 10.

Nửa số liệu bên trái : 2; 2; 5; 7 => Q₁ = (2 + 5) : 2 = 3,5

Nửa số liệu bên phải : 10; 13; 15; 19 => Q₃ = (13 + 15) : 2 = 14

b. Sắp xếp lại: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19 => Q₂ = (9 + 10) : 2 = 9,5.

Nửa số liệu bên trái : 1; 2; 5; 5; 9 => Q₁ = 5.

Nửa số liệu bên phải : 10; 10; 15; 15; 19 => Q₃ = 15.

3. MỐT

Bài 1: Một cửa hàng kinh doanh hoa thống kê số hoa hồng bán được trong ngày 14 tháng 2 theo loại hoa và thu được bảng tần số sau:

Cửa hàng nên nhập loại hoa nào nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo? Tại sao?

Giải rút gọn: 

Cửa hàng nên nhập hoa hồng nhung vì số lượng bán được là 230 ( nhiều nhất trong 4 loại hoa).

Bài 2: Hãy tìm mốt của số liệu điểm kiểm tra của các bạn Tổ 1 trong Khám phá 1.

Giải rút gọn: 

Mo = 6; 10.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a. 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41.

b. 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.

Giải rút gọn: 

a. Số trung bình : = (23 + 41 + 71 + 29 + 48 + 45 + 72 + 41) : 8 = 46,25

Sắp xếp lại : 23; 29; 41; 41; 45; 48; 71; 72 => Q₂  = ( 41 + 45 ) : 2 = 43

Nửa số liệu bên trái : 23; 29; 41; 41 => Q₁ = (29 + 41) : 2 = 35 

Nửa số liệu bên phải : 45; 48; 71; 72 => Q₃ = (48 + 71) : 2 = 59,5.

= 41.

b. Số trung bình là: = (12 + 32 + 93 + 78 + 24 + 12 + 54 + 66 + 78) : 9 48,89.

Sắp xếp lại: 12; 12; 24; 32; 54; 66; 78; 78; 93 => Q₂ = 54

Nửa số liệu bên trái : 12; 12; 24; 32 => Q₁ = (12 + 24) : 2 = 18.

Nửa số liệu bên phải : 66; 78; 78; 93 => Q₃ = (78 + 78) : 2 = 78.

= 12; 78.

Bài 2. Hãy tìm số trung bình, tứ vị phân và mốt của các số liệu sau:

Giải rút gọn: 

a. Số trung bình là: = 28,3

   n = 37 => Q₂  = 28; Q₁  = (25 + 25) :2 = 25; Q₃ = ( 31 + 31): 2 = 31

  = 28.

b. Số trung bình: = = 1,3

   Q₂ = 0 ; Q₁ = 0 ; Q₃ = 2

    = 0

Bài 3. An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra đó rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Giải rút gọn: 

Số trung bình : = = 1,7

n = 100 =>  Q₂ = (2 + 2) : 2 = 2 ; Q₁ = 1; Q₃ = 2

= 2

Bài 4. Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

a. Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b. Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và số trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Giải rút gọn: 

a. Số trung bình là:   9,08.

n = 12 => Q₂ = (7 + 7) : 2 = 7.

Nửa số liệu bên trái: 5; 6; 6; 6; 7; 7 => Q₁ = (6 + 6) : 2 = 6

Nửa số liệu bên phải : 7; 7; 7; 8; 8; 35 => Q₃ = (7 + 8) : 2 = 7,5.

= 7

b. Số trung bình : thời gian thi năm ngoái ít hơn năm nay

   Trung vị : thời gian cả 2 năm bằng nhau

   Vì 35 là giá trị bất thường => nên dùng trung vị để so sánh => thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là như nhau

Bài 5. Bác Dũng và bác Thu ghi lại số cuộc điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong 10 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng 01/2021 ở bảng sau:

a. Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số cuộc điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên.

b. Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

c. Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

d. Theo bạn, nên dùng số trung bình hay số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc điện thoại hơn mỗi ngày?

Giải rút gọn: 

a. * Bác Dũng

   +) Số trung bình : = (2 + 7 + 3 + 6 + 1 + 4 + 1 + 4 + 5 + 1) : 10 = 3,4 (cuộc)

   +) Sắp xếp lại: 1; 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 7.

   +) n = 10 => Q₂ = (3 + 4) : 2 = 3,5 ; Q₁ = 2; Q₃ = 5

   +) M_O = 1

 * Bác Thu

   +) Số trung bình : = (1 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 20 + 2) : 10 = 3,9 (cuộc)

   +) Sắp xếp lại: 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 20.

   +) n = 10 => Q₂ = (2 + 2) : 2 = 2; Q₁ = 1; Q₃ = 3

   +) M_O = 1 ; 2

b. Bác Thu.

c. Bác Dũng 

d. Vì 20 là giá trị bất thường => nên dùng giá trị trung vị để so sánh

Bài 6. Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam đạt được trong 20 kì thi được cho ở bảng sau:

Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 - 2010 cao hơn giai đoạn 2011- 2020. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không?

Giải rút gọn: 

* Số trung bình : 

  +) Giai đoạn 2001 -  2010 là: 

    = (139 + 166 + 172 + 196 + 143 + 131 + 168 + 159 + 161 + 133) : 10 = 156,8

  +) Giai đoạn 2011 - 2020 là:

     = (113 + 148 + 180 + 157 + 151 + 151 + 155 + 148 + 177 + 150) : 10 = 153

* Trung vị : 

  +) Giai đoạn 2001 - 2010: 131; 133; 139; 143; 159; 161; 166; 168; 172; 196.

         = (159 + 161) = 160.

 +) Giai đoạn 2011 - 2020: 113; 148; 148; 150; 151; 151; 155; 157; 177; 180.

         = (151 + 151) = 151.

=> Dựa vào số trung bình : điểm thi giai đoạn 2001 - 2010 cao hơn giai đoạn 2011 - 2020.

    Dựa vào trung vị : điểm thi giai đoạn 2001 - 2010 cao hơn giai đoạn 2011 - 2020.

=> Ý kiến đúng

Bài 7. Kết quả bài kiểm tra giữa kì của các bạn học sinh lớp 10A, 10B, 10C được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.

a. Hãy lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.

b. Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.

Giải rút gọn: 

a. 

b. 

* Lớp 10A 

       +) Số trung bình : = 8,35

       +) Số trung vị : = 9

       +) Mốt : = 9

* Lớp 10B

       +) Số trung bình : = 7,5

       +) Số trung vị : = ( 7 + 8) : 2 = 7,5

       +) Mốt : = 7 ; 8

* Lớp 10C

       +) Số trung bình : = 7,6

       +) Số trung vị : = 7

       +) Mốt : = 7 

=> Dựa vào số trung bình : lớp 10A là cao nhất, lớp 10B là thấp nhất.

      Dựa vào trung vị : lớp 10A là cao nhất, lớp 10C là thấp nhất.

      Dựa vào mốt : lớp 10A là cao nhất, lớp 10C là thấp nhất.