BÀI 2. ĐỊNH LÝ COSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN

KHỞI ĐỘNG 

Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?

Giải rút gọn: 

Hình 1 : BC² = 4² + 3² = 25 => BC = 5

Hình 2 : NP² = 3² + 4² – 2.3.4.cos 60⁰ = 13 => NP =

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Bài 1: 

a. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A  nhọn và . Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức a² = b² + c² - 2bc.cosA theo gợi ý sau:

• Xét tam giác vuông BCD, ta có a² = d² + (c - d)² = d² + x² + c² – 2xc (1)

• Xét tam giác vuông ACD, ta có b² = d² + x² d² = b² - x²                  (2)

• cosA = ⇒ ? = bcosA.                                                                         (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

Lưu ý: Nếu thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

b. Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA = -

c. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức a² = b² + c² - 2bc.cosA có thể viết là a² = b² + c² 

Giải rút gọn: 

a) x = bcosA.

b) 

ΔCDB vuông tại D :  a² = d² + (c + x)²                  (4)

ΔCDA vuông tại D :  b² = d² + x² d² = b² - x²     (5)

cos = - cos = - => x = -bcosA                 (6)

Thay (5), (6) vào (4), ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

c) ΔABC vuông tại A : a² = b² + c² - 2bc.cos90 ⬄ a² = b² + c²

Bài 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4.

Giải rút gọn: 

BC² = 18² + 14² - 2. 18. 14. cos62 283,386=> BC 16,834

cosC = 0,6788 4715’

cosB = 0,3297 7045’

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70 (Hình 5).

Giải rút gọn: 

BC² = 900² + 800² - 2. 900. 800.cos70 ≈ 957490,9936 => BC ≈ 978,5147

2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

Bài 1: a. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i. Tính sin theo a và R.

ii. Tìm mối liên hệ giữa và . Từ đó chứng minh rằng 2R =

b. Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R =

Giải rút gọn: 

a.i) ΔCBD vuông tại C : sin = =

ii)+) TH1:  Góc A nhọn : = => sin = sin = =>2R =  

   +) TH2 : Góc A tù : + = 180 => = sin  = 2R =

b) 

sinA = sin90 = 1 

ΔABC vuông tại A nội tiếp đường tròn O => 2R = a

=> 2R = =

Bài 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Giải rút gọn: 

 = 180⁰ – 112⁰ – 34⁰ = 34⁰ => ΔMPN cân tại N => NP = NM = 22

=  = 2R => MP = = ≈ 36,5.

Bài 3: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Giải rút gọn: 

= 180⁰ – 125⁰ – 35⁰ = 20⁰

ΔBCD : = = = 2R 

=> CD  = ≈ 2155,5 (m);   BD = ≈ 1509,3 (m)

ΔADC : AD²  = 2155,5² + 1800²  - 2.2155,5.1800. cos34 ≈ 1453014,5

 => AD ≈ 1205, 4(m) => DA < DB => dẫn nước từ bồn chứa A thì dập đám cháy nhanh hơn.

3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác như Hình 10.

a. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và

b. Tính theo b và sinC.

c. Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức S = ab.sinC.

d. Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức S =

Giải rút gọn: 

a) S_ABC = . AH. BC = . h_a. a       (1)

b) sinC = = h_a = b. sinC   (2)

c) Thay (2) vào (1) => S = a.b.sinC.

d) = = = 2R => sinC = => S = ab. =

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (1; r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).

a. Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.

b. Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: S =

Giải rút gọn: 

a) S_IBC =  . r.a ; S_IAC = . r. b ; S_IAB = . r. c

b) S_ABC = S_IBC + S_IAC + S_IAB = . r. a + . r. b + . r. c =  

Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a. Các cạnh b = 14, c = 35 và                     

b. Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Giải rút gọn: 

a) S = . 35. 14. sin60 =

  a² = 35² + 14² - 2.35.14. cos60 = 931 => a = 7

  R = = =

b) p = = 6 =>  S = = 6

   S = =>R = = =

Bài 4: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài cạnh là 3,2m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48 và 105 (Hình 12)

Giải rút gọn: 

  = 180⁰ – 105⁰ – 48⁰ = 27⁰

= = 2R => BC = = ≈ 6,8 (m)

S ≈ . 3,2. 6,8. sin48 ≈ 8,08 (m²)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:

Giải rút gọn: 

a) x² = 5² + 6,5² – 2.5.6,5.cos 72⁰ 47,2 => x 6,87

b)

Bài 2. Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14. 

Giải rút gọn: 

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Giải rút gọn: 

 => b ; c

R

Bài 4. Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Giải rút gọn: 

+) BC² = AC² + AB² – 2.AC.AB.cos A

⬄ 800² = 700² + 500² – 2.700.500.cos A => cos A =

+) AC² = BC² + AB² – 2.BC.AB.cos B

⬄ 700² = 800² + 500² – 2.800.500.cos B => cos B =

+)

Bài 5. Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90cm và góc ở đỉnh là 35

Giải rút gọn: 

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và  =60.

a. Tính diện tích tam giác ABC.

b. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Giải rút gọn: 

a) .

b) .

=> IB = IC =

Bài 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB; BC; CA lần lượt là 15, 18, 27.

a. Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác GBC.

Giải rút gọn: 

a) p = ( 15 + 18 + 27 ) : 2 = 30

=>

b)

Bài 8. Cho là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức: = 2R.sinB.sinC.

Giải rút gọn: 

+) S = ;  S = a.b.sinC ⇒ ⬄= b.sinC    (1)

+) = 2R ⇒ b = 2RsinB  (2)

Từ (1) và (2) ⇒ h_a = 2R.sinB.sinC 

Bài 9. Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a. Chứng minh rằng

b. Biết rằng và DE = 2 .Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải rút gọn: 

a)

b) Hai tam giác vuông ADB và BEC 

+) Tứ giác EACD nội tiếp đường tròn đường kính AC (cùng bù )

   =>  ΔABC ∽ ΔDBE theo hệ số tỉ lệ k = 3

+) (vì góc nhọn).

+) ΔDEB :   

=>  Bán kính đường tròn ngoại tiếp của ΔABC là :

Bài 10. Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc ở giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a. Chứng minh S = sinα

b. Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Giải rút gọn: 

a. AH ⊥ BD ; CK ⊥ BD ;  BD ∩ AC = I

  = BD.(AH + CK) 

            = BD(AI + IC).sinα = BD.AC.sinα = sinα

b. AC ⊥ BD => sinα = 1 => S =