BÀI 2. ĐỊNH LÝ COSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN

KHỞI ĐỘNG 

Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?

Giải nhanh: 

• Hình 1 sử dụng định lí Pytago: = + =25 ⇒ BC = 5

• 

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Bài 1: 

a. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A  nhọn và . Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức a² = b² + c² - 2bc.cosA theo gợi ý sau:

• Xét tam giác vuông BCD, ta có a² = d² + (c - d)² =  d² + x² + c² – 2xc (1)

• Xét tam giác vuông ACD, ta có b² = d² + x² d² = b² - x²        (2)

• cosA = ⇒ ? = bcosA.                                                                     (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

Lưu ý: Nếu thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

b. Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:

a² = b² + c² - 2bc.cosA

Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA = -

c. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức a² = b² + c² - 2bc.cosA có thể viết là a² = b² + c² 

Giải nhanh: 

a) x = bcosA.

b) 

Xét tam giác CDB vuông tại D, ta có:

a² = d² + (c + x)²    (4)

Xét tam giác CDA vuông tại D, ta có:

b² = d² + x² d² = b² - x²     (5)

Lại có: cos = - cos = -  

x = -bcosA           (6)

Thay (5), (6) vào (4), ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

c) Tam giác ABC vuông tại A = 90

Ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA ⬄ a² = b² + c² - 2bc.cos90 ⬄ a² = b² + c²

Bài 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4. 

Giải nhanh: 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AC² + AB² - 2AC. AB cosA 283,3863

BC 16,834

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

cosB = = 0,3297 7045’

cosC = = 0,6788 4715’

Vậy BC 16,834; 7045’; 4715’

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70 (Hình 5).

Giải nhanh: 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cosA ≈ 957490,9936

BC ≈ 978,5147

Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở đầu bờ hồ là 978,5147m.

2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

Bài 1: 

a. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i. Tính sin theo a và R.

ii. Tìm mối liên hệ giữa và . Từ đó chứng minh rằng 2R =

b. Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R =

Giải nhanh: 

a.

i) Xét tam giác BDC vuông tại C, ta có:

sin =

ii) Với tam giác ABC có góc A nhọn, ta có:

=  

sin = sin = 2R =  

Với tam giác ABC có góc A tù, ta có tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O.

+ = 180 

sin = sin(180) = sin = 2R =

Vậy 2R =

b) 

Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 2R = a (1)

Ta có: sinA = sin90 = 1 (2)

Từ (1) và (2) 2R = = (dpcm)

Bài 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Giải nhanh: 

Ta có: = 180 - - = 34

Tam giác MNP cân tại N 

MN = NP = 22

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

= = = 2R

Suy ra: MP = = ≈ 36,5.

Bài 3: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Giải nhanh: 

Gọi điểm tháp canh là C, điểm cháy là D (như hình vẽ).

Ta có: = 20

Áp dụng định lí sin cho tam giác CBD, ta có: = = = 2R

Suy ra: BD = = ≈ 1509,3 (m)

CD = = ≈ 2155,5 (m)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACD, ta có:

AD² = CA² + CD² - 2AC. CD. cos ≈ 1453014,5

AD ≈ 1205, 4(m)

Nhận thấy AD < BD nên dẫn nước từ bồn chứa A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.

3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác như Hình 10.

a. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và

b. Tính theo b và sinC.

c. Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức S = ab.sinC.

d. Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức S =

Giải nhanh: 

a) Xét tam giác ABC, đường cao AH:

S_ABC = . AH. BC = . h_a. a        (1)

b) Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

sinC = = h_a = b. sinC   (2)

c) S = absinC.

d) Áp dụng định lí sin, ta có:

= = = 2R

sinC =

S = absinC = ab. =

Vậy S =

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (1; r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).

a. Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.

b. Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: S =

Giải nhanh: 

a) S_IBC =  . r. a

   S_IAC =  . r. b

   S_IAB =  . r. c

b) Ta có: S_ABC = S_IBC + S_IAC + S_IAB

= . r. a + . r. b + . r. c = (dpcm)

Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a. Các cạnh b = 14, c = 35 và  

b. Cách cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Giải nhanh: 

a) S = bcsinA = . 14. 35. sin60 =

Áp dụng định lí côsin, ta có:

a² = b² + c² - 2bc cosA = 931

a = 7

Áp dụng định lí sin, ta có:

R = =

b) Ta có: p = . (4 + 5 + 3) = 6

Áp dụng công thức Heron, ta có:

S =  

= = 6

Ta có: S = R = =

Bài 4: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài cạnh là 3,2m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48 và 105 (Hình 12)

Giải nhanh: 

Chọn các đỉnh A, B, C như hình vẽ.

Ta có: = 27

Áp dụng định lí sin, ta có: 

= = = 2R

BC = = ≈ 6,8 (m)

S = AB. BC. sinB ≈ 8,08 (m²)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:

Giải nhanh: 

a)

b)

Bài 2. Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14. 

Giải nhanh: 

Áp dụng định lí sin ta có:

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Giải nhanh: 

Ta có:

Áp dụng định lí sin, ta có:

Suy ra:

b =

c =

R =

Bài 4. Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Giải nhanh: 

Áp dụng định lý cosin, ta có

⬄

⬄

Bài 5. Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90cm và góc ở đỉnh là 35

Giải nhanh: 

2323 cm²

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và  =60.

a. Tính diện tích tam giác ABC.

b. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Giải nhanh: 

a) .

b) Ta có: .

Vậy

Bài 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB; BC; CA lần lượt là 15, 18, 27.

a. Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác GBC.

Giải nhanh: 

a) Nửa chu vi của tam giác là:

b) Vì là trọng tâm của tam giác nên

Bài 8. Cho là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức: = 2R.sinB.sinC.

Giải nhanh: 

Ta có: S =

Lại có: S = absinC

⇒ ⬄= b.sinC    (1)

Áp dụng định lí sin, ta có: = 2R

⇒ b = 2RsinB  (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ha = 2R.sinB.sinC 

Bài 9. Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a. Chứng minh rằng

b. Biết rằng và DE = 2 .Tính cosB và bán kính dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải nhanh: 

a) Ta có:

b) Xét và lần lượt vuông tại , ta có:

Dễ thấy tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính

(cùng bù )

Do đó ∽

Mà => .

Mặt khác:  

Xét có:  

Vậy có bán kính đường tròn ngoại tiếp

Bài 10. Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc ở giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a. Chứng minh S = sinα

b. Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Giải nhanh: 

a. Ta có:

Vẽ AH và CK vuông góc với BD.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 

Ta có AH = AI.sinα; CK = CI.sinα

SABCD = AH. BD + CK. BD = BD(AH + CK) 

= BD(AI + IC).sinα = BD.ACsinα

⇒ S = .sinα (đpcm)

b. Nếu AC ⊥ BD thì sinα = 1, khi đó S =