BÀI 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

KHỞI ĐỘNG

Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ?  Có bao nhêu cách sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu? Bằng cách sử dụng quy tắc nhân, bạn có tìm được câu trả lời?

Giải nhanh: 

Việc chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ gồm 5 công đoạn

- CĐ1: Chọn cầu thủ thứ nhất là 1 trong 11 cầu thủ ⇒ Có 11 cách chọn

- CĐ2: Chọn cầu thủ thứ 2 là 1 trong 10 cầu thủ còn lại ⇒ Có 10 cách chọn

- CĐ3: Chọn cầu thủ thứ 3 là 1 trong 9 cầu thủ còn lại ⇒ Có 9 cách chọn

- CĐ4: Chọn cầu thủ thứ 4 là 1 trong 8 cầu thủ còn lại ⇒ Có 8 cách chọn

- CĐ5: Chọn cầu thủ thứ 5 là 1 trong 7 cầu thủ còn lại ⇒ Có 7 cách chọn

⇒ Áp dụng quy tắc nhân có: 11.10.9.8.7 = 55440 cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ

Việc sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu gồm 5 công đoạn

- CĐ1: Vị trí 1 có 5 cách chọn

- CĐ2: Vị trí 2 có 4 cách chọn

- CĐ3: Vị trí 3 có 3 cách chọn

- CĐ4: Vị trí thứ 4 có 2 cách chọn

- CĐ5: Vị trí thứ 5 có 1 cách chọn

⇒ Áp dụng quy tắc nhân có: 5.4.3.2.1 = 120 cách sắp xếp 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ

1. HOÁN VỊ

Bài 1: Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết minh về sản phẩm của mỗi đội.

a. Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra.

b. Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, có cách tìm nào nhanh hơn không

Giải nhanh: 

a. A, B, C;  A, C, B; B, A, C ; B, C, A; C,A,B ; C, B, A

b. Có tất cả 6 kết quả như vậy. Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, ta có cách sau:

Vì mỗi cách sắp xếp ba đội A, B, C theo thứ tự gọi là hoán vị của ba đội này ⇒ Số hoán vị của ba đội bằng 3.2.1 = 6

Bài 2: Một nhóm bạn gồm sáu thành viên cùng đi xem phim, đã mua sáu vé có vé ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như Hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?

Giải nhanh: 

P₆= 6.5.4.3.2.1 = 720 cách

Bài 3: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?

Giải nhanh: 

P₁₄= 14! cách

2. CHỈNH HỢP

Bài 1: Tại một trạm quan sát, có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn 3 lá cờ và cắm vào ba vị trí có sẵn thành một hàng. (Hình 4)

a. Hãy chỉ ra ít nhất 4 cách chọn và cắm cờ để báo bốn tín hiệu khác nhau.

b. Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Giải nhanh: 

a. Đỏ, xanh, vàng; đỏ, cam, vàng; trắng, vàng, đỏ; xanh, vàng, cam.

b. Có thể báo nhiều nhất 60 tín hiệu khác nhau

Bài 2: Từ bảy chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, lập các số có ba chữ số đôi một khác nhau.

a. Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b. Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Giải nhanh: 

a) Có thể lập được A73=7.6.5.4=840 số có ba chữ số đôi một khác nhau.

b) 120 số lẻ

3. TỔ HỢP

Bài 1: Lan vừa mua 4 cuốn sách, kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè. 

a. Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?

b. Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?

c. Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?

Giải nhanh: 

a. {A; B; C} hoặc {A; B: D} hoặc {A; C; D) hoặc (B; C; D) => Có tất cả 4 cách

b. Có: P₃ =3! = 6 cách xếp chúng theo thứ tự

c. Có A43=4!(4-3)!=24 cách

Bài 2: Tính 

a. C72

b. C90+C99

c. C153-C143

Giải nhanh: 

a) C72=7!2!.5!=7.6.5!2!.5!=21

b) C90+C99=9!0!.(9-0)!+9!9!.(9-9)!=2

c) C153-C143=15!3!.(15-3)!-14!3!.(14-3)! =15.14.13.12!3!.12!-14.13.12.11!3!.11! =91 

Bài 3: Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.

a. Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b. Sau giải đấu ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp liên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường?

Giải nhanh: 

a) C72=7!2!.5!=7.6.5!2!.5!=21 cách

b) C62=6!2!.4!=6.5.4!2!.4!=15 cách

b) C63=6!3!.3!=6.5.4.3!6.3! = 20 cách 

Bài 4: Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như Hình 8.

a. Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?

b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?

Giải nhanh: 

a) C62=6!2!.4!=6.5.4!2!.4!=15 cách

b) C63=6!3!.3!=6.5.4.3!6.3! = 20 cách 

4. TÍNH SỐ CÁC HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Bài 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a. A1510

b. C106+C107+C118

c. C11.C202+C52.C201

Giải nhanh: 

a.

b.

c.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:  Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế.

a. Có bao nhiêu cách xếp?

b. Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp?

Giải nhanh: 

a. 120 cách

b. CĐ1: Xếp Nga vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái ⇒ Có 1 cách xếp

CĐ2: Xếp 4 học sinh còn lại vào 4 chiếc ghế còn lại là 1 hoán vị của  4 học sinh ⇒ Có 4! = 24 (cách)

⇒ Áp dụng quy tắc nhân, có: 1.24 =24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề

Bài 2: Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?

a. 1; 2; 3; 4; 5; 6.

b. 0; 1; 2; 3; 4; 5

Giải nhanh: 

a) A64=6!(6-4)!=360 

b) + CĐ1: Chọn chữ số hàng nghìn là chữ số khác 0 ⇒ Có 5 cách chọn

+ CĐ2: Chọn 3 chữ số trong 5 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 5

  Có A53 = 60 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân, có 5.60 = 300 số thỏa mãn yêu cầu đề

Bài 3: Tổ Một có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau?

a. 3 bạn được chọn bất kì

b. 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ.

Giải nhanh: 

a) Có C93=9!3!.(9-3)!=84 (cách chọn).

b) Việc chọn 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ của tổ làm trực nhật gồm 2 công đoạn:

+ CĐ1: Chọn 2 bạn nam trong 4 bạn nam trong tổ trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 4 bạn  Có C42=6 cách chọn

+ CĐ2: Chọn 1 bạn nữ trong 5 bạn nữ trong tổ trực nhật là một tổ hợp chập 1 của 5 bạn  Có C51=5 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân có 6.5 = 30 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài 4: Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư ký và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu ủy ban này?

Giải nhanh: 

Việc chọn bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư ký và một ủy viên gồm 4 công đoạn:

+ CĐ1: Chọn 1 chủ tịch trong danh sách 8 người là một tổ hợp chập 1 của 8 người

Có C81=8 cách chọn

+ CĐ2: Chọn một phó chủ tịch trong 7 người còn lại là một tổ hợp chập 1 của 7 người  Có C71=7 cách chọn

+ CĐ3: Chọn một thư ký trong 6 người còn lại là một tổ hợp chập 1 của 6 người  Có: C61=6 cách chọn

+ CĐ4: Chọn một ủy viên trong 5 người còn lại là một tổ hợp chập 1 của 5 người  Có C61=5 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân: 8.7.6.5 = 1680 (cách chọn)

Vậy có 1680 khả năng về kết quả bầu ủy ban này

Bài 5: Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên?

Giải nhanh: 

Việc phân công các bạn trong nhóm làm các công việc theo chỉ dẫn của trung tâm gồm 3 công đoạn:

+ CĐ1: Chọn 3 bạn hỗ trợ đi lại trong 7 bạn đến trung tâm  Có: C73=35 (cách chọn)

+ CĐ2: Chọn 2 bạn hỗ trợ tắm rửa trong 6 bạn còn lại  Có: C42=6 (cách chọn)

+ CĐ3: Chọn 2 bạn hỗ trợ ăn uống trong 5 bạn còn lại  Có: C22=1 (cách chọn)

Áp dụng quy tắc nhân có: 35.6.1 = 210 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề

Bài 6:  Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như Hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Giải nhanh: 

Có tất cả 60 hình bình hành được tạo thành

Bài 7: Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham giá. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?

Giải nhanh: 

Cả giải đấu lượt đi và về có số trận đấu là 182 trận