BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 9

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

a. Chứng minh ABCD là hình vuông. 

b. Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Giải nhanh: 

a) Ta có: AB = (-1; 3), DC = (-1; 3)  AB = DC 

ABCD là hình bình hành.

Mà AD = (3; 1)  AB. AD = -1. 3 + 3. 1 = 0

 AB  AD hay AB  AD

Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = |AD| = 32+12 = 10

          AB = |AB| = (-1)2+32 = 10

AB = AD  Hình chữ nhật ABCD là hình vuông (đpcm).

b) Tâm I hình vuông ABCD là trung điểm của AC  I = (2+42; 1+52)  I = (3; 3)

Bài 2: Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Giải nhanh: 

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c) 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD

K là trung điểm của AB  K = (a+b2; 0)

     H là trung điểm của CD  H = (0; c+d2)

I = (a+b2; c+d2)

Ta có: IA = (a - a+b2; -c+d2) = (a-b2; -c+d2)

         IC = ( -a+b2; c - c+d2) = (-a+b2; c-d2

Vì IA = IC (=R)  (a-b2)2 + (-c+d2)2 = (-a+b2)2 + (c-d2)2

 (a-b)2 + (c+d)2 = (a+b)2 + (c-d)2

4ab = 4cd  ab = cd  ab - cd = 0

Ta có: EF = (-a; -c}, BD = (-b; d)

 EF. BD = (-a).(-b) - c.d = ab - cd = 0 (cmt)

 EF BD hay EF  BD (đpcm)

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:

a. d₁: x−y+2=0 và d₂: x+y+4=0;

b. d₁: {x=1+t y=3+2t    và d₂: x−3y+2=0;

c. d₁: {x=2-t y=5+3t   và d₂: {x=1+3t' y=3+t   

Giải nhanh: 

a) Đường thẳng d1 và d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (1; -1) và n2 = (1; 1).

Ta có: n1. n2 = 1. 1 + (-1). 1 = 0 nên n1  n2 

 d1  d2  (d1,d2) = 90°

Giao điểm M của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình: 

{x-y+2=0; x+y+4=0   {x=-3; y=-1 

Vậy d1  d2 và cắt nhau tại M(-3; -1).

b) Ta có: u1 = (1; 2) là vectơ chỉ phương của d1  n1 = (2; -1) là vectơ pháp tuyến của d1.

Phương trình tổng quát của d1 đi qua điểm A(1; 3) và nhận n1 = (2; -1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x-1)-(y-3)=0  2x-y+1=0

Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là n2 = (1; -3)

Ta có: 21  -1-3 n1 và n2 là hai vectơ không cùng phương.

 d1 và d2 cắt nhau. Giao điểm M của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình:

{2x-y+1=0; x-3y+2=0   {x=-15; y=35 

Ta có: cos(d1, d2)  = 22  (d1, d2) = 45°

Vậy d1 cắt d2 tại điểm M(-15; 35) và (d1, d2) = 45°.

c) Phương trình tổng quát của d1 và d2 lần lượt là:

: 3x + y -11 = 0 và d2: x-3y+8=0

Ta có: n1. n2 = 3. 1 + 1. (-3) = 0  n1  n2 hay d1  d2  (d1, d2) = 90°.

Giao điểm M của đường thẳng d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình:

{3x+y-11=0; x-3y+8=0   {x=52; y=72 

Vậy d1 và d2 vuông góc và cắt nhau tại M(52; 72).

Bài 4: Tính bán kính của đường tròn tâm M(-2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng:  d: 14x−5y+60=0

Giải nhanh: 

R = 22113

Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 6x+8y−13=0

Δ′: 3x+4y−27=0

Giải nhanh: 

d(, ') = |4.138-27|32+42 = 4110

Bài 6: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a. (x−2)²+(y−7)²=64;

b. (x+3)²+(y+2)²=8;

c. x²+y²−4x−6y−12=0.

Giải nhanh: 

a. Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8

b. Đường tròn có tâm I(-3; -2) và bán kính R = 22

c. Đường tròn có tâm I(2; 3) và bán kính R = 25 = 5

Bài 7: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a. Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;

b. Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c. Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x+y−16=0;

d. Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Giải nhanh: 

a) (x +2)2+(y-4)2=16

b) (x-1)2+(y-2)2=18

c) x2+y2-6x-8y+15=0

d) Phương trình đường tròn (C) tâm I(m; n) có dạng:

x2+y2-2mx-2ny+c=0

Vì O(0;0) (C) nên thay tọa độ O(0; 0) vào (C) ta được c = 0

Vì (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b) nên ta có:

 {m=a2 n=b2  (vì a  0, b 0)

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2+y2-ax-by=0

Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x−5)²+(y−3)² = 100 tại điểm M(11; 11)

Giải nhanh: 

(C) có tâm I(5; 3).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

(5-11)(x-11)+(3-11)(y-11)=0

 3x+4y-77=0

Bài 9: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a. x2100+y236  =1

b. x225+y216  =1

c. x²+16y²=16

Giải nhanh: 

a. (E): x2100+y236   = 1

Phương trình elip (E) có dạng: x2a2+y2b2  =1

⇒ a = 10; b = 6 ⇒ c = a2-b2= 102-62 = 8

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là: (-8; 0) và (8; 0)

    Tọa độ các đỉnh là: (-10; 0), (10; 0), (0; -6); (0; 6)

    Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 10 = 20; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 6 = 12.

b. (E): x225+y216   =1

Phương trình elip (E) có dạng: x2a2+y2b2  =1

⇒ a = 5; b = 4 ⇒ c = a2-b2= 52-42  = 3

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là: (-3; 0) và (3; 0)

    Tọa độ các đỉnh là: (-5; 0), (5; 0), (0; -4); (0; 4)

    Độ dài trục lớn bằng 2a = 10; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 8

c. Ta có: x² + 16y² = 16 ⇔ x2162+y21  = 1

Phương trình elip (E) có dạng: x2a2+y2 b2  =1

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c = a2-b2= 42-12  = 15 

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là: (-15; 0) và (15; 0)

    Tọa độ các đỉnh là: (-4; 0), (4; 0), (0; -1); (0; 1)

    Độ dài trục lớn bằng 2a = 8; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2.

Bài 10: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a. Đỉnh (5; 0), (0; 4)

b. Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0)

c. Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12

d. Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12

Giải nhanh: 

a) Phương trình elip (E) là: x225+y216=1.

b) Phương trình elip (E) là: x225+y216=1.

c) Phương trình elip (E) là: x264+y236=1.

d) Ta có: 2a = 20; 2c = 12  a = 10; c = 6 

b = a2-c2  = 8

Phương trình elip (E) là: x2100+y264=1.

Bài 11: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a. x216-y29 =1

b. x264-y236 =1

c. x²−16y² = 16

d. 9x²−16y² = 144

Giải nhanh: 

a. x216-y29 = 1

Phương trình hypebol (H) có dạng: x2a2-y2 b2   =1

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c =  a2+b2=  5

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là (-5; 0), (5; 0)

     Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

     Độ dài trục thực là: 2a = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 6

b. x264-y236  =1

Phương trình hypebol (H) có dạng: x2a2-y2 b2   =1

⇒ a = 8; b = 6 ⇒ c =a2+b2=  10

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là (-10; 0), (10; 0)

     Tọa độ các đỉnh là (-8; 0), (8; 0)

     Độ dài trục thực là: 2a = 16; độ dài trục ảo là: 2b = 12

c. Ta có: x² −16y²=16 ⇔ x216- y²=1

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c = a2+b2= 42+12= 17

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là (-17; 0), (17; 0)

     Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

     Độ dài trục thực là: 2a = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2.

d. Ta có: 9x²−16y²=144 ⇔ x216-y29 =1

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c = a2+b2=  5

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là (-5; 0), (5; 0)

     Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

     Độ dài trục thực là: 2a = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 6

Bài 12: Viết phương trình chính tắc của hypebol thoả mãn từng điều kiện sau:

a. Đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0);

b. Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6.

Giải nhanh: 

a. x29-y216 =1

b. x216-y29 =1

Bài 13: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a. y² = 12x                       b. y² = x

Giải nhanh: 

a. Tọa độ tiêu điểm là (3; 0) và phương trình đường chuẩn là x+3=0.

b. Tọa độ tiêu điểm là (14 ; 0) và phương trình đường chuẩn là x+14=0.

Bài 14: Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a. Tiêu điểm (4; 0)

b. Đường chuẩn có phương trình x=−  16

c. Đi qua điểm (1; 4)

d. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.

Giải nhanh: 

a. y² = 16x

b. y² = 23x

c. Phương trình parabol (P) có dạng: y² = 2px

Vì (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình của (P), ta được:

4² = 2p. 1 ⇒ p = 8

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²=16x

d. Ta có: F(p2; 0), phương trình đường chuẩn Δ: x +  p2 =0

d(F, Δ) = 8 ⇔ p2+p212+02 = 8 ⇔ p = 8

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²=16x

Bài 15: Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như Hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5cm. Cho biết bề sâu của gương là 45cm, tính khoảng cách AB.

Giải nhanh:

Tiêu điểm cách đỉnh 5cm ⇒ Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10

⇒ Phương trình parabol (P): y² = 20x

Ta có điểm A(45; y_A) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:

yA2 = 20. 45 ⇒ y_A = 30

⇒ AB = 2. 30 = 60 cm

Vậy khoảng cách AB là 60 cm

Bài 16: Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (Hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một đường ống nằm ở tiêu điểm của parabol.

a. Viết phương trình chính tắc của parabol.

b. Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.

Giải nhanh: 

a.

Phương trình parabol (P) có dạng: y2=2px

Ta có: A(1; 3)  (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

32 = 2p. 1  p = 92

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2=9x.

b) Vì đường ống nằm ở tiêu điểm của (P) nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng: p2 =  2,25 m

Bài 17: Cổng chào của một thành phố có dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến chân cổng gần nhất là 0,5m Tính chiều cao của cổng.

Giải nhanh: 

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Gọi phương trình parabol là y2=2px.

Gọi chiều cao của cổng là OH = h.

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 192  AH = 96 

Điểm A có tọa độ (h; 96)

Ta có: AC = 0,5; DH = MC = 2  M (h - 2; 95,5)

Vì A và M thuộc parabol (P) nên ta có hệ phương trình:

{962=2ph; 95,52=2p(h-2)   96295,52 = hh-2  h = 2.962962-95,52  192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.

Bài 18: Một người đứng ở giữa một tấm ván gỗ đặt trên một giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng giàn giáo dài 16m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3cm (Hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol.

a. Giả sử tấm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.

b. Điểm có độ võng 1 cm cách tấm ván gỗ bao xa?

Giải nhanh: 

a. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Gọi phương trình của parabol (P) có dạng: y²=2px.

Ta có: AB = 16, OH = 3 ⇒ A (3; 8)

Vì A thuộc (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

8² = 2p. 3 ⇒ p = 323

⇒ Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y²= 643x.

b. Ta có: MI = 1 ⇒ M(2; y_M)

Vì M ∈ (P) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình (P), ta được: 

yM2 = 643 . 2 ⇒ y_M =863 

⇒ M(2; 863) ⇒ OM =(2-0)2+(863-0)2≈ 6,83

Vậy điểm M có độ võng 1 cm cách tấm ván gỗ khoảng 6,83m