BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax2+bx+c=dx2+ex+f

Bài 1. Lời giải cho phương trình -2x2-2x+11=-x2+3 như sau đúng hay sai: 

-2x2-2x+11=-x2+3 

⇒ −2x2−2x+11=−x2+3

⇒ x2+2x−8=0

⇒ x = 2 hoặc x = -4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 và -4. 

Giải nhanh: 

Lời giải trên thiếu bước thử nghiệm lại kết quả

Bài 2. Giải phương trình 31x2-58x+1=10x2-11x-19

Giải nhanh: 

31x2-58x+1=10x2-11x-19

⇒ 31x²−58x+1=10x²−11x−19

⇒ 21x²−47x+20=0

⇒ x=47 hoặc x=53 

Thay lần lượt x=47 hoặc x=53 vào phương trình ta thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn phương trình

2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax2+bx+c=dx+e

Bài 1. Lời giải cho phương trình -x2+x+1=x như sau đúng hay sai?

-x2+x+1=x

⇒ −x²+x+1 = x²

⇒ −2x²+x+1 = 0

⇒ x=1 hoặc x= -12 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x= -12 

Giải nhanh: 

Lời giải trên thiếu bước thử nghiệm lại kết quả.

Bài 2. Giải phương trình 3x2+27x-41=2x+3

Giải nhanh: 

3x2+27x-41=2x+3

⇒3x²+27x−41=(2x+3)²

⇒3x²+27x−41=4x²+12x+9

⇒x²−15x+50=0

⇒[x=10; x=5 

x = 5 và x = 10 (TM)

Bài 3: Cho các tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như Hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1 cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a. OC=3OA                                       b. OC=54OB

Giải nhanh: 

Xét tam giác vuông CBO có: (CBO=90^o)

CO²=CB²+BO²=(x−1)²+x²=2x²−2x+1 (ĐL Pytago)

⇒CO=2x2-2x+1

Xét tam giác vuông ABO có: (BAO=90^o)

BO²=BA²+AO²(ĐL Pytago)

⇒AO² = BO²−BA² = x²−(x−1)²=2x−1

⇒AO=2x-1

a. OC = 3.OA

2x2-2x+1=3. 2x-1  (x>1)

2x²−20x+10=0

⇒ x=5+25 (thỏa mãn điều kiện x > 1) hoặc x=5−25 (loại do x>1)

⇒ OB = 5+25-1 = 4+25  cm

b. OC=54OB

2x2-2x+1=54x

716x²−2x+1=0

x=4 (thỏa mãn x >1) hoặc x=47 (loại do x>1)

⇒ OB = 3 cm

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a, 11x2-14x-12=3x2+4x-7

b, x2+x-42=2x-30

c, 2x2-x-1=x2+2x+5

d, 3x2+x-1-7x2+2x-5=0

Giải nhanh: 

a) 11x2-14x-12=3x2+4x-7

⇒8x2-18x-5=0 

[x=52, x=-14  

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, chỉ có x=52 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=52

b) x2+x-42=2x-30

x2-x-12=0 

[x=4 x=-3  

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, x = 4 và x =-3 không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) 2x2-x-1=x2+2x+5

⇒3x2-6x-9=0 

[x=3 x=-1   

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, x = 3 và x =-1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 hoặc x = -1.

d) 3x2+x-1-7x2+2x-5=0

⇒9(x2+x-1)=7x2+2x-5 

⇒2x2+7x-4 

[x=-4 x=12  

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, chỉ có x = -4  thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -4

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a, x2+3x+1=3

b, x2-x-4=x+2

c, 2+12-2x=x

d, 2x2-3x-10=-5

Giải nhanh: 

a) x2+3x+1=3

x2+3x-8=0 

[x=-3+412 x=-3-412  

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy x=-3+412 ; x=-3-412 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=-3+412 hoặc x=-3-412

b) x2-x-4=x+2

⇒5x=-8  

⇒x=-85 

Thay x=-85 vào phương trình đã cho ta thấy x=-85 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=-85 .

c) 2+12-2x=x

12-2x=x-2  

x2-2x-8=0 

[x=4 x=-2  

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy x=4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=4

d) 2x2-3x-10=-5 (d)

Có: 2x2-3x-10 (d) ≥0

mà  -5(d) < 0

VT(d)  VP(d)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn AC là 2 cm.

a. Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC theo AB

b. Biết chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Giải nhanh: 

a) Xét tam giác vuông ABC có: (BAC=90o)

BC2=AB2+AC2=x2+(x+2)2 

 ⇒BC=x2+(x+2)2=2x2+4x+4

b) Ta có: x+x+2+2x2+4x+4=24 

⇔x=6 

Vậy độ dài ba cạnh AB, AC, BC lần lượt là: 6cm; 8cm; 10 cm

Bài 4. Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60°. Trên bờ biển có hai đài quan sát 4 và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng cách 1 km và 2 km (Hình 2).

a. Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.

b. Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng 45 khoảng cách từ tàu đến A.

c. Tìm x để khoảng cách tử tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đảng 500 m. (Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)

Giải nhanh: 

a) Xét tam giác MOB có:

MB2=MO2+OB2-2OM.OB.cos 6 0o 

MB2=x2+22-2.x.2.12 

MB=x2-2x+4 (x0)

Xét tam giác MOA có:

MA2=MO2+OA2-2OM.OA.cos ( 180o-60o) 

MA2=x2+12-2.x.1.-12 

MA=x2+x+1 (x0)

b) Theo đề bài ta có:

MB=45MA 

x2-2x+4=45.x2+x+1 

x2-2x+4=1625.x2+x+1 

925x2-6625x+8425=0 

[x=11+373≈5,7; x=11-373≈1,64  

Vậy x≈5,7 hoặc x≈1,64 thì thỏa mãn đề bài.

c) Theo đề ta có:

OM  = MB + 0,5 (vì 500m = 0,5km)

x=x2-2x+4+0,5 

x-0,5=x2-2x+4 

⇒x=154=3,75 

Vậy x = 3,75 thì thỏa mãn yêu cầu đề