BÀI 2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Bài 1. Lợi nhuận (I) thu được trong một ngày từ việc kinh doanh một loại gạo của một cửa hàng phụ thuộc vào giá bán của một kg loại gạo đó theo công thức : I = −3x²+200x−2325, với I và x được tính bằng nghìn đồng. Giá trị x như thế nào thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó. 

Giải nhanh: 

x phải là nghiệm của bất phương trình: −3x²+200x−2325>0

Bài 2. Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn. Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn thì x = 2 có phải là nghiệm của bất phương trình đó hay không ?

a. x²+x−6 ≤ 0 

b. x+2 > 0

c. −6x²−7x+5>0

Giải nhanh: 

a. x=2 là một nghiệm của bất phương trình trên.

b. Không là bất phương trình bậc hai một ẩn

c. x=2 không nghiệm của bất phương trình trên

Bài 3. Giải các bất phương trình sau: 

a. 15x²+7x−2 ≤ 0

b. −2x² + x - 3 < 0

Giải nhanh: 

a. Xét hàm số f(x)= 15x²+7x−2 có Δ = 169 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt: 

x1 = −23; x2 = 15, và a = 15 > 0. 

Nên: f(x) ≤ 0 với x ϵ ( -23 ; 15  )

b. Xét hàm số f(x)= −2x²+x−3, có Δ = -23 

⇒ f(x) vô nghiệm và có a = -2 < 0 nên f(x)<0 với mọi x

Bài 4. Giải bất phương trình lập được ở đầu bài và tìm giá bán gạo sao cho cửa hàng có lãi

Giải nhanh: 

Hàm số f(x) −3x²+200x−2325 có: 

Δ = 200²−4.(−3).(−2325)=12100 > 0 . 

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt 

x₁ = 15 và x₂ = 51.7 và có a= -3 < 0 nên f(x) dương khi x ϵ (15 ; 51.7)

Mà vì x tính bằng nghìn đồng nên là cửa hàng có lãi từ loại gạo đó khi giá cửa loại gạo đó > 15 nghìn đồng và bé hơn 51.7 nghìn đồng.  

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai sau đây:

Giải nhanh: 

a. (-3; 12)

b. Mọi x ≠ -4

c. (32 ; 4)

d. Vô nghiệm

Bài 2. Giải các bất phương trình bậc hai sau :

a. 2x²−15x+28 ≥ 0 

b. −2x²+19x+255 > 0

c. 12x² < 12x−8

d. x²+x−1 ≥ 5x²−3x

Giải nhanh: 

a. Xét hàm số f(x) = 2x²−15x+28. ta có Δ = (−15)²−4.2.28=1>0. nên f(x) có hai nghiệm phân biệt :

x1 = 3,5

x2 =  4

f(x) có a = 2 > 0 nên f(x) > 0 khi x ϵ (-∞; 3,5) hoặc (4; +∞)

Vậy nghiệm của bất phương trình 2x²−15x+28 ≥ 0 là : x ≤ 3,5 hoặc x ≥ 4 

b. Xét hàm số f(x) = −2x²+19x+255 có Δ = 19²−4.(−2).255=2401 > 0. Nên f(x) có hai nghiệm phân biệt.

x1 = 17

x2 = -7,5

f(x)>0 khi x ϵ (-7,5 ; 17)

c. Xét hàm số f(x) = 12x²−12x+8 có Δ = (−12)²−4.12.8=−240 < 0 và có a = 12 > 0 nên f(x) luôn lớn hơn 0 với mọi x

Vậy với mọi x ta luôn có : 12x² < 12x−8

d. Xét hàm số f(x) = x²+x−1−5x²+3x = −4x²+4x−1. Có Δ = 4²−4.(−4).(−1) = 0. Vậy f(x) có nghiệm kép x=0,5

Vậy để x²+x−1 ≥ 5x²−3x thì x = 0,5

Bài 3: Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 m². Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Giải nhanh: 

Giả sử chiều rộng của vườn hoa là x và chiều dài là y thì theo dữ liệu đề bài ta có :

2(x+y) = 30 (1) và x.y ≥ 50 (2)

Từ (1) ⇒ x+y =15 ⇒ y = 15-x. Thay vào (2) ta có: x.(15-x) ≥ 50 ⇒ −x²+15x−50 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai một ẩn f(x) = -x²+15x−50 ta có: 

Δ = 15²−4(−1)(−50)=25>0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = 10

x₂ = 5

Và có a = -1 < 0 nên f(x) > 0 khi x ϵ (5;10)

Vậy chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng từ 5 đến 10m. 

Bài 4. Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao 1,6m so với mặt đất với vận tốc 10m/s.Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng m) sau t giây được cho bởi hàm số

h(t) = −4,9t²+10t+1.

Hỏi :

a. Bóng có thể cao trên 7m không?

b. Bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm

Giải nhanh: 

a. Xét hàm h(t)= −4,9t² + 10t +1−7 = −4,9t² + 10t – 6 có:

Δ  = -17,6 < 0 và a = -4,9 < 0 

=> h(t) luôn luôn < 0 tức là −4,9t²+10t+1 < 7. 

=> Bóng không thể cao trên 7 m

b. Xét hàm h(t)= −4,9t² + 10t +1 – 5 = −4,9t² + 10t – 4 có Δ = 21,6 >0 

=> h(t) có 2 nghiệm phân biệt: x1= 1,5; x2 = 0,55

Và có a = -4,9 < 0. nên f(x)>0 khi x ϵ (0,55 ; 1,5)

Hay bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian từ 0,55 giây đến 1,5 giây

Bài 5: Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số y = −0,006x² với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét trong hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm. 

Giải nhanh: 

Ta có : −0,006x²−0,15 ≤ 0 

Ta xét f(x) = −0,006x²−0,15. có:

Δ = 0-4 (-0,006)(-0,15) = 0,0036 > 0 

=> f(x) có hai nghiệm phân biệt 

x₁ = 12

x₂ = -12

và a = -0,006 < 0 nên −0,006x²−0,15 ≤ 0 khi x thuộc đoạn từ [-12; 12]