BÀI 2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Bài 1. Lợi nhuận (I) thu được trong một ngày từ việc kinh doanh một loại gạo của một cửa hàng phụ thuộc vào giá bán của một kg loại gạo đó theo công thức: I = −3x²+200x−2325, với I và x được tính bằng nghìn đồng. Giá trị x như thế nào thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó. 

Giải rút gọn: 

Để cửa hàng có lãi thì lợi nhuận phải lớn hơn 0 hay I > 0 

Hay - 3x² + 200x – 2 325 > 0

Ta có ∆ = 200² – 4.(-3).(-2 325) = 12 100 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 15 và x₂ = và a = -3 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy x ∈ (15; ) thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Bài 2. Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn. Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn thì x = 2 có phải là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a. x²+x−6 ≤ 0 

b. x+2 > 0

c. −6x²−7x+5>0

Giải rút gọn: 

a. Là bất phương trình bậc hai một ẩn

Với x = 2 ta có: 2² + 2 – 6 = 0 

=> x = 2 là một nghiệm của bất phương trình trên.

b. Không là bất phương trình bậc hai một ẩn

c. Là bất phương trình bậc hai một ẩn

Với x = 2 ta có: -6.2² – 7.2 + 5 = -33 < 0

=> x = 2 không nghiệm của bất phương trình trên.

Bài 3. Giải các bất phương trình sau: 

a. 15x²+7x−2 ≤ 0

b. −2x² + x - 3 < 0

Giải rút gọn: 

a. f(x) = 15x²+7x−2 có: Δ = 169 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt: 

x₁ = −; x₂ = , và a = 15 > 0 => f(x) ≤ 0 với x ∈ ( ; )

b. f(x)= −2x²+x−3 có Δ = -23 nên f(x) vô nghiệm và có a = -2 < 0 

=> f(x) < 0 với ∀x

Bài 4. Giải bất phương trình lập được ở đầu bài và tìm giá bán gạo sao cho cửa hàng có lãi

Giải rút gọn: 

f(x) = −3x²+200x−2325 có Δ = 12 100 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

x₁ = 15 và x₂ = và có a = -3 < 0 

=> f(x) dương khi x ∈ (15 ; )

Vậy −3x²+200x−2325 > 0 có tập nghiệm là (15; )

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai sau đây:

Giải rút gọn: 

a. (-3; )

b. ∀x ≠ -4

c. ( ; 4)

d. Vô nghiệm

Bài 2. Giải các bất phương trình bậc hai sau :

a. 2x²−15x+28 ≥ 0 

b. −2x²+19x+255 > 0

c. 12x² < 12x−8

d. x²+x−1 ≥ 5x²−3x

Giải rút gọn: 

a. f(x) = 2x²−15x+28, có Δ = 1 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = ; x₂ =  và a = 2 > 0 

=> f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; 3,5) hoặc (4; +∞)

Vậy nghiệm của bất phương trình 2x²−15x+28 ≥ 0 là : x ≤ 3,5 hoặc x ≥ 4 

b. f(x) = −2x²+19x+255 có Δ = 2401 > 0. Nên f(x) có hai nghiệm phân biệt.

x₁ = ; x₂ =

=> f(x) > 0 khi x ∈ (-7,5 ; 17)

c. f(x) = 12x²−12x+8 có Δ = −240 < 0 và a = 12 > 0 

=> f(x) > 0 với ∀x

Vậy với ∀x ta luôn có: 12x² < 12x−8

d. f(x) = x²+x−1−5x²+3x = −4x²+4x−1. Có Δ = 0. Vậy f(x) có nghiệm kép x = 0,5

Vậy để x²+x−1 ≥ 5x²−3x thì x = 0,5

Bài 3: Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 m². Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Giải rút gọn: 

Giả sử chiều rộng và chiều dàu của vườn hoa lần lượt là x và y, ta có: 

ó

Xét f(x) = -x²+15x−50 ta có: Δ = 15²−4(−1)(−50) = 25 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = ; x₂ =

Và có a = -1 < 0 nên f(x) > 0 khi x ∈ (5;10)

Vậy chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng từ 5 đến 10m thì thỏa mãn yêu cầu.

Bài 4. Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao 1,6m so với mặt đất với vận tốc 10m/s.Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng m) sau t giây được cho bởi hàm số

h(t) = −4,9t²+10t+1.

Hỏi :

a. Bóng có thể cao trên 7m không?

b. Bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm

Giải rút gọn: 

a. Xét h(t) = −4,9t² + 10t +1 − 7 = −4,9t² + 10t – 6 có Δ  = -17,6 < 0 và a = -4,9 < 0 

=> h(t) luôn luôn < 0 tức là −4,9t²+10t+1 < 7. 

Như vậy, bóng không thể cao trên 7 m

b. Xét h(t)= −4,9t² + 10t +1 – 5 = −4,9t² + 10t – 4 có Δ = 21,6 > 0 nên h(t) có 2 nghiệm phân biệt

x₁ = 1,5; x₂ = 0,55

Và có a = -4,9 < 0 nên f(x) > 0 khi x ∈ (0,55; 1,5)

Hay bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian từ 0,55 giây đến 1,5 giây

Bài 5: Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số y = −0,006x² với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét trong hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm. 

Giải rút gọn: 

Theo dữ liệu của bài ta có : −0,006x²−0,15 ≤ 0 

f(x) = −0,006x²−0,15 có: Δ = 0,0036 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt 

x₁ = ; x₂ =

Mà a = -0,006 < 0 nên −0,006x²−0,15 ≤ 0 khi x ∈ [-; ]