BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

KHỞI ĐỘNG

Bài 1: Tìm các giác trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng dưới đây.

Giải rút gọn: 

• Đường thẳng 1: a = 2; b = -1; c = 3

• Đường thẳng 2: a = -1; b = -1; c = 1

• Đường thẳng 3: a = 0; b = -1; c = -3

• Đường thẳng 4: a = 1; b = 0; c = 2

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀=(x₀;y₀) và cho hai vectơ n⃗  = (a; b) và u⃗  = (b; -a) khác vectơ-không. Cho biết u⃗  có giá song song hoặc trùng với Δ.

a. Tính tích vô hướng n⃗ . u⃗  và nêu nhận xét về phương của hai vectơ n⃗ , u⃗ .

b. Gọi M(x; y) là điểm di động trên Δ. Chứng tỏ rằng vectơ luôn cùng phương với vectơ u⃗  và luôn vuông góc với vectơ n⃗ .

Giải rút gọn: 

a) . = a.b + b.(-a) = 0 

Nhận xét: Hai vectơ , có phương vuông góc với nhau

b) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng . 

=> Vectơ luôn cùng phương với vectơ và luôn vuông góc với vectơ .

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận vectơ u⃗  = (u₁; u₂)  làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, tìm tọa độ của M theo tọa độ của M₀ và u⃗ .

Giải rút gọn: 

Tọa độ điểm M là:

Bài 3:

a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận v⃗  = (8; -4) làm vectơ chỉ phương.

b. Tìm tọa độ điểm P trên Δ, biết P có tung độ bằng 1.

Giải rút gọn: 

a) Phương trình đó là:

b) Thay y = 1 vào phương trình y = 5 - 4t, ta được: t = 1

Thay t = 1 vào phương trình x = -9 + 8t, ta được: x = -1

Vậy P = (-1; 1)

Bài 4: Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đề từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc v⃗  = (40; 30).

a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô.

b. Tìm tọa độ của xe ứng với t = 2; t = 4

Giải rút gọn: 

a) Phương trình đó là:

b) Thay t = 2 ta được:   => Tọa độ (81;61)

Thay t = 4 ta được:   => Tọa độ (161;121)

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận n⃗  = (a; b) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, chứng tỏ rằng điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0 (với c = - a - b).

Giải rút gọn: 

Ta có: = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng = (b; -a).

Khi đó, tọa độ của điểm M là:

=> a( + bt) + b( - at) - a - b = 0 

a + abt + b - abt - a - b = 0 0 = 0 (luôn đúng)

Vậy điểm M(x; y) thỏa mãn phương trình đã cho

Bài 6: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n⃗  = (3; 5);

b. Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và có vectơ chỉ phương u⃗  = (2; - 7)

c. Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3)

Giải rút gọn: 

a) n⃗ = (3; 5) => = (5; -3).

Phương trình tham số của là:

Phương trình tổng quát của là: 3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 3x + 5y - 8 = 0

b) Phương trình tham số của là:

Đường thẳng có  = (2; -7) => n⃗ = (7; 2).

Phương trình tổng quát của là: 7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 7x + 2y = 0

c. Đường thẳng đi qua M(4; 0), N(0; 3) => = = (-4; 3) và = (3; 4)

Phương trình tham số của là:

Phương trình tổng quát của là: 3(x - 4) + 4(y - 0) = 0 3x + 4y - 12 = 0

Bài 7: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc v⃗  = (3; -4).

a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ biểu diễn đường đi của điểm M.

b. Tìm tọa độ của điểm M khi Δ cắt trục hoành.

Giải rút gọn: 

a) Ta có: = (4; 3) 

Phương trình tổng quát của đường thẳng là: 

4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 4x + 3y - 10 = 0

b) Điểm M thuộc trục hoành nên tung độ bằng 0

=>   

Vậy M = (; 0)

Bài 8: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong Thực hành 2

Giải rút gọn: 

a) Ta có: 3x + 5y - 8 = 0 y = +

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của là: y =  +

b) Ta có: 7x + 2y = 0 y =

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của là: y =  

c) Ta có: 3x + 4y - 12= 0 y = + 3

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của là: y = + 3

Bài 9: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2m³/h vào một cái bể đã chứa sẵn 5m³ nước.

a. Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ.

b. Gọi y = f(x) là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này.

c. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quả của đường thẳng d.

Giải rút gọn: 

a)

b)

c) Ta có:

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là .

=> = (2; -1) là vectơ pháp tuyến nên = (1; 2) là vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận = (1; 2) là vectơ chỉ phương là:

2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là và  

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a. và cùng phương (Hình 5a, b);

b. và không cùng phương (Hình 5c, d);

c. và vuông góc (Hình 5d)

Giải rút gọn: 

a) song song hoặc trùng với .

b) và cắt nhau.

c) ⊥ .

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a. d₁: x - 5y + 9 = 0 và d₂: 10x + 2y + 7 = 10;

b. d₁: 3x - 4y + 9 = 0 và d₂:

c. d₁: và d₂:

Giải rút gọn: 

a) Ta có: = (1; -5) và = (10; 2).

. = 1. 10 + (-5). 2 = 0 nên và  là hai vectơ vuông góc, suy ra d₁ d₂.

Giải hệ phương trình:  

Vậy ⊥ và cắt nhau tại M(; ).

b) Ta có: = (3; -4); = (4; 3) l = (3; -4) 

Ta có: =  =>   và là hai vectơ cùng phương. 

Vậy song song hoặc trùng nhau d₂. Lấy điểm M(1; 1) thuộc , thay tọa độ của M và phương trình , ta được: 3. 1 - 4. 1 + 9 0.

Vậy // .

c) và có phương trình tổng quát lần lượt là: 3x - 4y + 1 = 0 và 6x - 8y + 2 = 0, có vectơ pháp tuyến lần lượt là = (3; -4) và = (6; -8).

Ta có: =  =>   và là hai vectơ cùng phương. Vậy song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc , thay tọa độ của M và phương trình , ta được: 3. 1 - 4. 1 + 1 = 0.

Vậy .

Bài 3: Viếtphương trình đường thẳng d₁:

a. Đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng d₂: x + 3y + 2 = 0;

b. Đi qua điểm B(4; - 1) và vuông góc với đường thẳng d₃: 3x - y + 1 = 0

Giải rút gọn: 

a) Vì song song với : x + 3y + 2 = 0 nên nhận = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 3) và nhận = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là: (x - 2) + 3(y - 3) = 0 x + 3y - 11 = 0

b) Vì vuông góc với : 3x - y + 1 = 0 nên nhận = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm B(4; -1) và nhận = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là: (x - 4) + 3(y  + 1) = 0 x + 3y - 1 = 0

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết = 38^∘ (Hình 6). 

Tính số đo các góc  

Giải rút gọn:  

= =

= = - =

Bài 2: Cho hai đường thẳng

Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 ( > 0) và Δ2: a₂x + b₂y + c₂ = 0 ( > 0)

có vectơ pháp tuyến lần lượt là và

Tìm tọa độ của , và tính cos( , ).

Giải rút gọn: 

= (; ), = (; ).

cos(, ) = =

Bài 3: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a. Δ₁: x + 3y - 7 = 0 và Δ₂: x - 2y + 3 = 0

b. Δ₁: 4x - 2y + 5 = 0 và Δ₂: 

c. Δ₁: và Δ₂:

Giải rút gọn: 

a) cos(, ) = = (, )  = .

b) Đường thẳng có: = (4; -2) = (2; 4) 

Đường thẳng có = (1; 2).

Ta có: = 2 // (, ) =

c) Hai đường thẳng , lần lượt có = (1; 2) và = (2; -1).

Ta có: . = 1. 2 + 2. (-1) = 0 . Do đó, (, ) =

Bài 4: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hàm số y = x và y = 2x + 1.

Giải rút gọn:

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = x là : x - y = 0

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = 2x + 1 là : 2x - y + 1 = 0

cos(, ) = =   (, ) =

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 (a2 + b2) có vectơ pháp tuyến n⃗  và cho điểm M₀(x₀;y₀) có hình chiếu vuông góc H(x_H,y_H) trên Δ (Hình 9).

a. Chứng minh rằng hai vectơ và cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b. Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ và . Chứng minh rằng p = ax₀ + by₀ + c.

c. Giải thích công thức ||=

Giải rút gọn: 

a) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng : ax + by + c = 0 nên   

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống nên MH     

và cùng phương.

Ta có: = (a; b), = ()

b) Vì H nên  

c =

Ta có: p = . = a() + b()

 = = + + c (đpcm)

c) Vì cùng phương với nên = t

mà H nên a( - ta) + b( - tb) + c = 0 

a - t + b - t + c = 0

  t =

Ta có: || =  

=  

=  

=  

= = (đpcm)

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Giải rút gọn: 

Ta có: = (4; 1), = (3; 3), = (-1; 2)

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận = (1; -4) làm vectơ pháp tuyến là: 1(x - 1) - 4(y - 1) = 0 x - 4y + 3 = 0

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận = (3; -3) làm vectơ pháp tuyến là: 3(x - 1) - 3(y - 1) = 0 x - y = 0

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x - 4) + (y - 4) = 0 2x + y - 12 = 0

• Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là: d(A; BC) = =

• Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là: d(B; AC) = =

• Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là: d(C; AB) = =

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x - 3y + 2 = 0 và d₂: 4x - 3y + 12 = 0.

Giải rút gọn: 

Ta có: = // .

Ta có: M(1; 2) , d(, ) = d(M; ) = = 2

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a. d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương u⃗  = (2; 1)

b. d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là n⃗  = (3; -2)

c. d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2

d. d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Giải rút gọn: 

a) Ta có = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận = (1; -2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận = (2; 1) là vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận = (1; -2) là vectơ pháp tuyến là:

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; -2) và nhận  = (3; -2) là vectơ pháp tuyến là:    

Ta có  = (3; -2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận  = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; -2) và nhận  = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là:

c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx +

Vì hệ số góc k = -2 nên ta có: y = -2x +

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = -2. 1 + = 3 

Phương trình tổng quát của d là: y = -2x + 3 2x + y - 3 = 0

Ta có: d nhận = (2; 1) là vectơ pháp tuyến = (1; -2) 

Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận = (1; -2) làm vectơ chỉ phương là:

d) Ta có: = (-3; 2) là vectơ chỉ phương của d = (2; 3) 

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận = (-3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là:  

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b. Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c. Lập phương trình của đường cao AH.

Giải rút gọn: 

a. Ta có = (4; 2) ⇒ BC nhận n⃗  = (2; -4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận n⃗  = (2; -4) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x−1) − 4(y−2) = 0 ⇔ x−2y+3 = 0

b. Ta có M là trung điểm của BC ⇒ M(; ) ⇒ M(3; 3)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận = (1; -2) làm vectơ chỉ phương là:

c. Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là: 4(x−2)+2(y−5) = 0 ⇔ 2x+y−9 = 0

Bài 3: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a. Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x+y+9=0;

b. Δ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x−y−2=0.

Giải rút gọn: 

a) nhận = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến và = (1; -3) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua A(2; 1) và nhận = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là:  

Phương trình tham số của đi qua A(2; 1) và nhận = (1; -3) làm vectơ chỉ phương là:

b) n nhận = (2; -1) làm vectơ chỉ phương và = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

Phương  trình tổng quát đường thẳng đi qua B(-1; 4) và nhận = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến là:    

Phương trình tham số của đi qua B(-1; 4) và nhận = (2; -1) làm vectơ chỉ phương là:

Bài 4: Xét vị trí tương đối của các cặp dường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a. d₁: x - y + 2 = 0 và d₂: x+y+4=0

b. d₁:  và d₂: 5x−2y+9=0

c. d₁:  và d₂: 3x+y−11=0.

Giải rút gọn: 

a) Ta có = (1; -1) và = (1; 1).

Ta có: . = 1. 1 + 1. (-1) = 0 . Do đó, .

Tọa độ M là giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy và cắt nhau tại M(-3; -1).

b) Ta có = (2; 5) là vectơ chỉ phương của   = (5; -2) 

  = (5; -2) là vectơ pháp tuyến của .

Ta có: = nên và là hai vectơ cùng phương. Do đó, và song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3) , thay tọa độ của M vào phương trình , ta được: 5. 1 - 2. 3 + 9 0 M . 

Vậy // .

c) = (-1; 3) là vectơ chỉ phương của = (3; 1) 

Phương trình tổng quát của d đi qua điểm A(2; 5) và nhận = (3; 1) là vectơ pháp tuyến là:  

Ta có: = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của .

Ta có: = nên và là hai vectơ cùng phương. Do đó, và song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5) , thay tọa độ của N vào phương trình , ta được: 3. 2 + 5 - 11 = 0 N .     

Vậy            

Bài 5: Cho đường thẳng d có phương trình tham số

Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ

Giải rút gọn: 

Giao điểm A của d và trục Ox là:  ⇒ A = (; 0)

Giao điểm B của d và trục Oy là:  ⇒ B = (0; 11)

Bài 6: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a. d₁: x - 2y + 3 = 0 và d₂: 3x−y−11=0

b. d₁:   và d₂: x+5y−5=0

c. d₁:  và d₁:  

Giải rút gọn: 

Bài 6: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a. d₁: x - 2y + 3 = 0 và d₂: 3x−y−11=0

b. d₁:   và d₂: x+5y−5=0

c. d₁:  và d₁:  

Giải rút gọn: 

a) Ta có: cos(, ) = = (, ) =

b) Ta có = (5; -1) và = (1; 5) 

. = 5. 1 + (-1). 5 (, ) = .

c) Ta có = (2; 4) và = (1; 2).

= 2 // (, ) = .

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a. M(1; 2) và Δ: 3x−4y+12=0;       

b. M(4; 4) và Δ:  

c. M(0; 5) và Δ:  

d. M(0; 0) và Δ: 3x+4y−25=0

Giải rút gọn: 

a) d(M; ) = =

b) Phương trình tổng quát của đi qua điểm O(0; 0) và nhận = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là:  

d(M; ) = =

c) Phương trình tổng quát của đi qua điểm A(0; ) và nhận = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

d(M; ) = =

d(M; ) = = 5

Bài 8: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 3x+4y−10=0

Δ′: 6x+8y−1=0.

Giải rút gọn: 

Ta có: ⇒ Δ // Δ′

Lấy điểm M(2; 1) ∈ Δ

⇒ d(Δ; Δ′) = d(M; Δ′) =

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d:

12x−5y+16=0

Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Giải rút gọn: 

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

=> d(M; d) =

Bài 10: Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) là ba vị trí trên màn hình.

a. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.

b. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.

c. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Giải rút gọn: 

a) Ta có: = (10; 5), = (6; -4), = (-4; -9)

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(-1; 1) và nhận = (5; -10) là vectơ pháp tuyến là:

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(-1; 1) và nhận = (4; 6) là vectơ pháp tuyến là:

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận  = (9; -4) là vectơ pháp tuyến là:

b) cos(AB, AC) = = (AB, AC) .

c) d(A; BC) = =