CHƯƠNG IX. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

• Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

HĐKP1:

a) $\underset{n}{\rightarrow}$. $\underset{u}{\rightarrow}$= a.b + b.(-a) = 0 =>$\underset{n}{\rightarrow} \perp  \underset{u}{\rightarrow}$.

b) Vì M, M$_{0}$ thuộc đường thẳng nên $\underset{M_{0}M}{\rightarrow}$ chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $. Suy ra, vectơ $\underset{M_{0}M}{\rightarrow}$ luôn cùng phương với vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và luôn vuông góc với vectơ $\underset{n}{\rightarrow}$.

Kết luận:

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ nếu $\underset{u}{\rightarrow}$≠$\underset{0}{\rightarrow}$ và giá của $\underset{u}{\rightarrow}$ song song hoặc trùng với $\Delta $.

- Vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

  Vectơ $\underset{n}{\rightarrow}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\underset{n}{\rightarrow}$ ≠$\underset{0}{\rightarrow}$ và $\underset{n}{\rightarrow}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

* Chú ý:

• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\underset{n}{\rightarrow}$= (a; b) thì ∆ sẽ nhận $\underset{u}{\rightarrow}$ = (b; -a) hoặc $\underset{u}{\rightarrow}$ = (-b; a) là một vectơ chỉ phương.

• Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì vectơ k$\underset{u}{\rightarrow}$, (k ≠0)  cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

• Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\underset{u}{\rightarrow}$=ab thì vec tơ $\underset{n}{\rightarrow}$=(-ba) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Ví dụ 1: SGK-tr47

• Phương trình tham số của đường thẳng

HĐKP2:

Tọa độ điểm M là: $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+tu_{1} & \\ y=y_{0}+tu_{2} & \end{matrix}\right.$

Kết luận:

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:

$\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+tu_{1} & \\ y=y_{0}+tu_{2} & \end{matrix}\right.$     (với $u_{1}^{2}$ + $u_{2}^{2}$ > 0, t ∈R)

là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M$_{0}$ (x$_{0}$; y$_{0}$) có vectơ chỉ phương u = (u$_{1}$; u$_{2}$).

* Chú ý:

Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.

Ví dụ 2: SGK -tr47

Thực hành 1.

a) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ là: 

$\left\{\begin{matrix}x=-9+8t & \\ y=5-4t & \end{matrix}\right.$

b) Thay y = 1 vào phương trình y = 5 - 4t, ta được: 1 = 5 - 4t t = 1

Thay t = 1 vào phương trình x = -9 + 8t, ta được: x = -9 + 8. 1 = -1

Vậy P = (-1; 1)

Vận dụng 1.

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: 

$\left\{\begin{matrix}x=1+40t & \\ y=1+30t & \end{matrix}\right.$

b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là:

$\left\{\begin{matrix}x=1+40.2 & \\ y=1+30.2 & \end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix}x=81 & \\ y=61 & \end{matrix}\right.$

Thay t = 4 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là:

$\left\{\begin{matrix}x=1+40.4 & \\ y=1+30.4 & \end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix}x=161 & \\ y=121 & \end{matrix}\right.$

• Phương trình tổng quát của đường thẳng

HĐKP3:

Ta có: $\underset{n}{\rightarrow}$ = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  $\underset{u}{\rightarrow}$ = (b; -a).

Khi đó, tọa độ của điểm M là: 

$\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+bt & \\ y=y_{0}-at & \end{matrix}\right.$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ax + by + c = 0, ta được:

a(x$_{0}$ + bt) + b(y$_{0}$ - at) - ax$_{0}$ - by$_{0}$ = 0 

<=> ax$_{0}$ + abt + by$_{0}$ - abt - ax$_{0}$ - by$_{0}$ = 0

<=> 0 = 0 (luôn đúng)

Vậy điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0 (với c = - ax$_{0}$ - by$_{0}$).

Kết luận:

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thắng đều có phương trình tổng quát dạng

ax + by + c= 0

với a và b không đồng thời bằng 0.

* Chú ý: 

• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\underset{n}{\rightarrow}$ = (a; b).

• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ 3: SGK -tr48

* Nhận xét:

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) có dạng:

$\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}$=$\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}$

với (x$_{A} \neq $x$_{B}$; y$_{A} \neq $ y$_{B}$)

• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng.

$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1   (1)

Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.

Thực hành 2:

a) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\underset{n}{\rightarrow}$ = (3; 5) nên có vectơ chỉ phương $\underset{u}{\rightarrow}$ = (5; -3).

Phương trình tham số của $\Delta $ là: $\left\{\begin{matrix}x=1+5t & \\ y=1-3t & \end{matrix}\right.$

Phương trình tổng quát của $\Delta $ là:

3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 <=>3x + 5y - 8 = 0

b) Đường thẳng đi qua O(0; 0) và có vectơ chỉ phương $\underset{u}{\rightarrow}$ = (2; -7) nên ta có phương trình tham số của $\Delta $ là: 

$\left\{\begin{matrix}x=2t & \\ y=-7t & \end{matrix}\right.$

Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\underset{u}{\rightarrow}$ = (2; -7) nên có vectơ pháp tuyến $\underset{n}{\rightarrow}$ = (7; 2).

Phương trình tổng quát của là:

7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 <=> 7x + 2y = 0

c. Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) nên có vectơ chỉ phương $\underset{u}{\rightarrow}$ = $\underset{MN}{\rightarrow}$ = (-4; 3) và vectơ pháp tuyến $\underset{n}{\rightarrow}$ = (3; 4)

Phương trình tham số của $\Delta $ là: 

$\left\{\begin{matrix}x=4-4t & \\ y=3t & \end{matrix}\right.$

Phương trình tổng quát của $\Delta $ là:

3(x - 4) + 4(y - 0) = 0 <=> 3x + 4y - 12 = 0

 Vận dụng 2.

a) Ta có  là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ 

=> $\underset{n}{\rightarrow}$ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm A(1; 2) và nhận $\underset{n}{\rightarrow}$ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến là:

4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 <=> 4x + 3y - 10 = 0

b) Tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng $\Delta $ và trục hoành: 

Ta có: $\left\{\begin{matrix}4x_{M}+3y_{M}-10=0 & \\ y_{M}=0 & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x_{M}=\frac{5}{2} & \\ y_{M}=0 & \end{matrix}\right.$

Vậy M = ($\frac{5}{2}$; 0)

Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

• Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng: SGK-tr50

+ Đồ thị hàm số bậc nhất y = kx + y$_{0}$ (k $\neq $ 0) là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\underset{n}{\rightarrow}$ = (k;-1) và có phương trình tổng quát là kx - y + y$_{0}$ = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.

+  d là đồ thị của hàm bậc nhấtt y = kx + y$_{0}$ với hệ số góc k =-$\frac{a}{b}$ và tung độ góc y$_{0}$ =-$\frac{c}{b}$.

* Chú ý:

• Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành y = - $\frac{c}{b}$ .

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm (0; - $\frac{c}{b}$ ) (H3a, SGK- tr50).

• Nếu b = 0 và a 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành x = - $\frac{c}{a}$.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm (- $\frac{c}{a}$; 0) (H3b, SGK - tr50).

Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

Ví dụ 4: SGK -tr50

Thực hành 3:

a) Ta có: 3x + 5y - 8 = 0 y = -$\frac{3}{5}$x + $\frac{8}{5}$

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của là: y =  -$\frac{3}{5}$x + $\frac{8}{5}$

b) Ta có: 7x + 2y = 0 y = -$\frac{7}{2}$x

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của $\Delta $ là: y = -$\frac{7}{2}$x

c) Ta có: 3x + 4y - 12= 0 y = -$\frac{3}{4}$x + 3

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của $\Delta $ là: y = -$\frac{3}{4}$x + 3

Vận dụng 3:

a) y=2x+5

b) Đồ thị d của hàm số đi qua hai điểm A(-$\frac{5}{2}$; 0) và B(0; 5).

c) Ta có: y=2x+5 <=> 2x-y+5=0  

=> Phương trình tổng quát của đường thẳng d là 2x-y +5=0.

Ta có d nhận $\underset{n}{\rightarrow}$ = (2; -1) là vectơ pháp tuyến nên $\underset{u}{\rightarrow}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận $\underset{u}{\rightarrow}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương là: 

$\left\{\begin{matrix}x=t=0 & \\ y=5+2t & \end{matrix}\right.$

2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐKP4:

a) $\Delta _{1}$ song song hoặc trùng với $\Delta _{2}$.

b) $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ cắt nhau.

c) $\Delta _{1}$ vuông góc với $\Delta _{2}$.

Kết luận:

Nếu $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ cùng phương thì ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tuỳ ý trên ∆1.

Nếu P $\in $  ∆2 thì ∆1 $\equiv $ ∆2.

Nếu P $\notin $  ∆2 thì ∆1 // ∆2.

Nếu $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$  không cùng phương thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M(xo; yo) với (xo; yo) là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 & \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 & \end{matrix}\right.$ .

* Chú ý:

a) Nếu $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$.$\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ = 0 thì $\underset{n_{1}}{\rightarrow} \perp  \underset{n_{2}}{\rightarrow}$, suy ra ∆1 $\perp $ ∆2.

b) Đề xét hai vectơ $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ (a$_{1}$; b$_{1}$) và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$(a$_{2}$; b$_{2}$) cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a$_{1}$b$_{1}$ – a$_{2}$b$_{2}$:

Nếu a$_{1}$b$_{1}$ – a$_{2}$b$_{2}$ = 0 thì hai vectơ cùng phương.

 Nếu a$_{1}$b$_{1}$ – a$_{2}$b$_{2}$ 0 thì hai vectơ không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số a$_{1}$, a$_{2}$, b$_{1}$, b$_{2}$ đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

Nếu $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{b_{1}}{b_{2}}$  thì hai vectơ cùng phương.

Nếu $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq  \frac{b_{1}}{b_{2}}$  thì hai vecto không cùng phương.

Ví dụ 5: SGK-tr52

Thực hành 4:

a) Đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$= (1; -5) và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$= (10; 2).

Ta có: $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$. $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ = 1. 10 + (-5). 2 = 0 nên $\underset{n_{1}}{\rightarrow} \perp  \underset{n_{2}}{\rightarrow}$ là hai vectơ vuông góc, suy ra d$_{1} \perp d$_{2}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x-5y+9=0 & \\ 10x+2y+7=10 & \end{matrix}\right.$  

=> $\left\{\begin{matrix}-\frac{3}{52} & \\ \frac{93}{52} & \end{matrix}\right.$

Vậy 1 và 2 vuông góc và cắt nhau tại M($-\frac{3}{52}$; $\frac{93}{52}$).

b) Ta có: $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d$_{1}$.

$\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ = (4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d$_{2}$ => $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d$_{2}$.

Ta có: $\frac{3}{3}$ =$\frac{-4}{-4}$ suy ra $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ là hai vectơ cùng phương. Vậy d$_{1}$ song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc d$_{2}$, thay tọa độ của M và phương trình d$_{1}$, ta được: 3. 1 - 4. 1 + 9 $\neq $ 0.

Vậy d$_{1}$ // d$_{2}$.

c) d$_{1}$ và d$_{2}$ có phương trình tổng quát lần lượt là: 3x - 4y + 1 = 0 và 6x - 8y + 2 = 0, có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ = (3; -4) và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ = (6; -8).

Ta có: $\frac{3}{6}$ =$\frac{-4}{-8}$ suy ra $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ là hai vectơ cùng phương. Vậy d$_{1}$ song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc d$_{2}$, thay tọa độ của M và phương trình, ta được: 3. 1 - 4. 1 + 1 = 0.

Vậy d1 $\equiv $ d2.

Vận dụng 4:

a) Vì d$_{1}$ song song với d$_{2}$: x + 3y + 2 = 0 nên d$_{1}$ nhận $\underset{n}{\rightarrow}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d$_{1}$ đi qua điểm A(2; 3) và nhận $\underset{n}{\rightarrow}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x - 2) + 3(y - 3) = 0 => x + 3y - 11 = 0

b) Vì d1 vuông góc với d$_{3}$: 3x - y + 1 = 0 nên d$_{1}$ nhận $\underset{n}{\rightarrow}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d$_{1}$ đi qua điểm B(4; -1) và nhận $\underset{n}{\rightarrow}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x - 4) + 3(y  + 1) = 0 => x + 3y - 1 = 0

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 

HĐKP5:

$\widehat{toy}$ =$\widehat{xOz}$ = 38°

$\widehat{xOt}$= $\widehat{yOz}$ = 180° - 38° = 142°

Kết luận:

Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆1và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.∆2'. 

- Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc gữa hai đường thẳng ∆1và ∆2.

- Nếu ∆1$\perp $∆2, ∆1$\perp $∆2thì ($\widehat{∆1,∆2}$)=90$^{\circ}$ ($\widehat{∆1,∆2}$)=900.

- Nếu  ∆1//∆2 hoặc ∆1$\equiv $∆2 thì ($\widehat{∆1,∆2}$)=0$^{\circ}$.

=> Góc giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn 0≤α≤90 ($\widehat{∆1,∆2}$)=0$^{\circ}$.

=> Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu ($\widehat{∆1,∆2}$) hoặc (∆1, ∆2).

Ví dụ 6: SGK-tr54

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

HĐKP6:

$\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ = (a$_{1}$; b$_{1}$), $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ = (a$_{2}$; b$_{2}$).

cos($\underset{n_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$) = $\frac{|\underset{n_{1}}{\rightarrow}.\underset{n_{2}}{\rightarrow}|}{|\underset{n_{1}}{\rightarrow}|.|\underset{n_{2}}{\rightarrow}|}$=$\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

Kết luận:

cos(∆1, ∆2)=a$\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

* Nhận xét:

Nếu ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$ ,$\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ thì cos(∆1, ∆2) = cos($\underset{u_{1}}{\rightarrow}$ , $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$)

* Chú ý:

Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:

- Nếu ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ lần lượt có phương trình a$_{1}$x + b$_{1}$y + c$_{1}$ = 0 và a$_{2}$x + b$_{2}$y + c$_{2}$ = 0 thì ta có:

(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = 90$^{\circ}$ ⟺ a$_{1}$a$_{2}$ + b$_{1}$b$_{2}$ = 0.

Nếu ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ lần lượt có phương trình y = k$_{1}$x + m$_{1}$ và y = k$_{2}$x + m$_{2}$ thì ta có:

(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = 90$^{\circ}$ ⟺ k$_{1}$.k2 = -1.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.

Ví dụ 7: SGK – tr55

Thực hành 5:

a) Ta có: cos(∆$_{1}$, ∆$_{2}$)= $\frac{|1.1+3.(-2)|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}.\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

=> (∆$_{1}$, ∆$_{2}$)= 45°.

b) Đường thẳng 1 nhận $\underset{n_{12}}{\rightarrow}$= (4; -2) là vectơ pháp tuyến  $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ = (2; 4) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng 2 nhận vectơ chỉ phương là $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ = (1; 2).

Ta có: $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$= 2$\underset{u_{2}}{\rightarrow}$

=> $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$ // $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ => (∆$_{1}$, ∆$_{2}$)= 0°

c) Hai đường thẳng ∆$_{1}$, ∆$_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$ = (1; 2) và $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ = (2; -1).

Ta có: $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$. $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$= 1. 2 + 2. (-1) = 0  $\underset{u_{1}}{\rightarrow} \perp  \underset{u_{2}}{\rightarrow}$. Do đó, (∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = 90°

Vận dụng 5:

Ta có: y = x <=> x - y  = 0; y = 2x + 1 <=> 2x - y + 1 = 0

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = x là d$_{1}$: x - y = 0

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = 2x + 1 là d$_{2}$: 2x - y + 1 = 0

cos(d$_{1}$, d$_{2}$) = $\frac{|1.2+(-1).(-1)|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}.\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}$= $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

(d$_{1}$,d$_{2}$) = 18°26'

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

HĐKP7:

a) $\underset{n}{\rightarrow}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $: ax + by + c = 0 nên $\underset{n}{\rightarrow} \perp \Delta $   (1)

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống $\Delta $ nên MH $\perp \Delta $    (2)

Từ (1) và (2)  $\underset{n}{\rightarrow}$ và $\underset{HM_{0}}{\rightarrow}$ cùng phương.

Ta có: $\underset{n}{\rightarrow}$ = (a; b), $\underset{HM_{0}}{\rightarrow}$ = (x$_{0}$-x$_{H}$y$_{0}$-y$_{H}$)

b) Vì H nên ax$_{H}$+by$_{H}$+c=0  c = -ax$_{H}$-by$_{H}$

Ta có: 

p = $\underset{n}{\rightarrow}$. $\underset{HM_{0}}{\rightarrow}$ = a(x$_{0}$-x$_{H}$) + b(y$_{0}$-y$_{H}$)

 = ax$_{0}$-ax$_{H}$+by$_{0}$-by$_{H}$ = ax$_{0}$ + by$_{0}$ + c (đpcm)

c) Vì $\underset{n}{\rightarrow}$ cùng phương với $\underset{HM_{0}}{\rightarrow}$ nên $\underset{HM_{0}}{\rightarrow}$ = t$\underset{n_{n}}{\rightarrow}$

$\left\{\begin{matrix}x_{0}-x_{H}=ta & \\ y_{0}-y_{H}=tb & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x_{H}=x_{0}-ta & \\ y_{H}=y_{0}-tb & \end{matrix}\right.$ 

mà H nên a(x$_{0}$ - ta) + b(y$_{0}$ - tb) + c = 0 

ax$_{0}$ - ta$^{2}$ + by$_{0}$ - tb$^{2}$ + c = 0

  t = $\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{a^{2}+b^{2}}$

Ta có: |$\underset{HM_{0}}{\rightarrow}$| = $\sqrt{(x_{0}-x_{H})^{2}+(y_{0}-y_{H})^{2}}$

= $\sqrt{(x_{0}-x_{0}+ta)^{2}+(y_{0}-y_{0}+tb)^{2}}$

= $\sqrt{(a^{2}+b^{2}).t^{2}}$

= $\sqrt{(a^{2}+b^{2}).t}$ 

= $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.$\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{a^{2}+b^{2}}$ 

= $\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ =$\frac{|p|}{|n|}$(đpcm)

Kết luận:

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0(a$^{2}$ + b$^{2}$ > 0) và điểm M$_{0}$(x$_{0}$; y$_{0=0}$). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thắng ∆, kí hiệu là d(M0, ∆), được tính bởi công thức:

d(M$_{0}$, ∆)=$\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Ví dụ 8: SGK-tr56

Ví dụ 9: SGK-tr56

Thực hành 6:

Ta có: $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (4; 1), $\underset{AC}{\rightarrow}$ = (3; 3), $\underset{BC}{\rightarrow}$ = (-1; 2)

• Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ = (1; -4) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x - 1) - 4(y - 1) = 0 <=> x - 4y + 3 = 0

• Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ = (3; -3) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x - 1) - 3(y - 1) = 0 <=> x - y = 0

• Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận $\underset{n_{3}}{\rightarrow}$ = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x - 4) + (y - 4) = 0 <=> 2x + y - 12 = 0

• Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là:

• d(A; BC) = $\frac{2.1+1-12}{\sqrt{2^{2}}+1^{2}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$

• Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là:

• d(B; AC) = $\frac{5-2}{\sqrt{1^{2}}+(-1)^{2}}$ =$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 

• Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là:

• d(C; AB) = $\frac{4-4.4+3}{\sqrt{1^{2}}+(-4)^{2}}$ = $\frac{9\sqrt{17}}{17}$

Vận dụng 6:

Ta có: $\frac{4}{4}$ = $\frac{-3}{-3} \neq  \frac{2}{12}$ d$_{1}$ // d$_{2}$.

Ta có: M(1; 2) $\in $ d$_{1}$,

d(d$_{1}$, d$_{2}$) = d(M; d$_{2}$) = $\frac{4.1-3.2+12}{\sqrt{4^{2}}+3^{2}}$= 2