BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

Bài 1. Cho ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗  đều khác vectơ 0⃗ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ , cùng phương với thì và cùng phương.

b) Nếu hai vectơ , cùng ngược hướng với thì và cùng hướng.

Giải rút gọn: 

a) đúng                                      b) đúng

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có  là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a. Tính độ dài các vectơ ,

b. Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng

Giải rút gọn: 

a) || = || = =

b) OA = OB = OC = OD =  

  và , và ; và ;  và ; và ; và ; và ; và

Bài 3. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60. Tìm độ dài các vectơ sau:

Giải rút gọn: 

=> = a

 =>

=>

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho = (Hình 1).

a. Tìm tổng của các vectơ + ; + ; +

b. Tìm các vectơ hiệu: - ; - ; ; -  

c. Chứng minh + = +

Giải rút gọn: 

a) + = + =  

  + = + =

  + = + =

b. - = - =

    - = - =

    - = - =

c) Hình bình hành BCDA : + =       

  Hình bình hành MCNA : + =  

 =>   + = +

Bài 5. Cho  , là hai vectơ khác vectơ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a. |  + | = | | + ||;                                   b. | + | = | - |

Giải rút gọn: 

a) = + + 2||. ||.cos(, )

    = + + 2||. ||

  | + | = || + ||| cos(, ) = 1  (, ) = ⬄ và cùng hướng

b) = = + 2 +  

     = = - 2 +

   | + | = | - | ⬄ 2 = 0  ⬄

Bài 6. Cho  | + | = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ  , .

Giải rút gọn: 

2 vectơ , cùng độ dài, cùng phương, ngược hướng.

Bài 7. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng = khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Giải rút gọn: 

Gọi I, J là trung điểm của AD, BC =>

;

= = =  

=> I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.

Bài 8. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng  

Giải rút gọn: 

Hình bình hành JABI, BCPQ, ARSC : ; ;

= =

Bài 9. Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38m/s theo hướng nghiêng với một góc 20∘ vè phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Giải rút gọn: 

= 16 (m/s)

Bài 10. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng

Giải rút gọn: 

Qua M kẻ đường thẳng IK // AB, QS // BC , NP // AC

 MP // AC ⇒ ; MK // AB ⇒ ⇒ ΔMKP đều 

=> MD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ⇒

Tương tự : ;

⇒ 2

= = 3

⇒  

Bài 11. Một xe goòng được kéo bởi một lực F⃗  có độ lớn là 50N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200m. Cho biết góc giữa là 30 và  được phân tích thành hai lực và (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực

Giải rút gọn:

= 50. = 25(N) ;   = 50. = (N)

Công sinh bởi lực là: A = 200.50. = (J)

Công sinh bởi lực là: A₁ = 200.25. = 0 (J)

Công sinh bởi lực là: A₂ =  200..cos 0⁰ = (J)

Bài 12. Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi  lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ, vận tốc của thuyền so với bờ.

a. Tính độ dài của các vectơ  

b. Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c. Hướng di chuyển của thuyền một góc bao nhiêu so với bờ?

Giải rút gọn: 

a) = 0,75; = 1,2 => = 1,4 

b) v = 1,4 (m/s)

c) tan = =