BÀI 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

KHỞI ĐỘNG

Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ? Có bao nhêu cách sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu? Bằng cách sử dụng quy tắc nhân, bạn có tìm được câu trả lời?

Giải rút gọn: 

Để chọn 5 trong 11 cầu thủ:

CĐ1: Chọn 1 trong 11 cầu thủ ⇒ có 11 cách chọn

CĐ2: Chọn 1 trong 10 cầu thủ còn lại ⇒ có 10 cách chọn

CĐ3: Chọn 1 trong 9 cầu thủ còn lại ⇒ có 9 cách chọn

CĐ4: Chọn 1 trong 8 cầu thủ còn lại ⇒ có 8 cách chọn.

CĐ5: Chọn 1 trong 7 cầu thủ còn lại ⇒ có 7 cách chọn.

⇒ Có: 11.10.9.8.7 = 55440 cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ.

Để sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu 

CĐ1: Vị trí 1 có 5 cách chọn

CĐ2: Vị trí 2 có 4 cách chọn

CĐ3: Vị trí 3 có 3 cách chọn

CĐ4: Vị trí thứ 4 có 2 cách chọn

CĐ5: Vị trí thứ 5 có 1 cách chọn

⇒ Có: 5.4.3.2.1 = 120 cách sắp xếp 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ.

1. HOÁN VỊ

Bài 1: Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết mình về sản phẩm của mỗi đội.

a. Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra.

b. Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, có cách tìm nào nhanh hơn không

Giải rút gọn: 

a. Có 6 kết quả xảy ra:

b. Có tất cả 6 kết quả như vậy. Ta còn cách sau: Vì mỗi cách sắp xếp ba đội A, B, C theo thứ tự gọi là hoán vị của ba đội này ⇒ Số hoán vị của ba đội bằng 3.2.1 = 6.

Bài 2: Một nhóm bạn gồm sáu thành viên cùng đi xem phim, đã mua sáu vé có vé ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như Hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?

Giải rút gọn: 

Số cách sắp xếp 6 thành viên vào 6 ghế ngồi là:

P₆ = 6.5.4.3.2.1 = 720 (cách)

Bài 3: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?

Giải rút gọn: 

Số khả năng thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc là: P₁₄  = 14! (khả năng) 

2. CHỈNH HỢP

Bài 1: Tại một trạm quan sát, có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn 3 lá cờ và cắm vào ba vị trí có sẵn thành một hàng. (Hình 4)

a. Hãy chỉ ra ít nhất 4 cách chọn và cắm cờ để báo bốn tín hiệu khác nhau.

b. Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Giải rút gọn: 

a. 4 cách đó là:

b. Chọn 3 lá cờ từ 5 lá cờ và sắp xếp chúng theo thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 5 lá cờ. Số các chỉnh hợp chập 3 của 5 lá cờ => Số các chỉnh hợp này bằng: 5.4.3 = 60.

Vậy có thể báo nhiều nhất 60 tín hiệu khác nhau.

Bài 2: Từ bảy chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, lập các số có ba chữ số đôi một khác nhau.

a. Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b. Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Giải rút gọn: 

a) Có thể lập được:  số có ba chữ số đôi một khác nhau.

b) CĐ1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ ⇒ Có 4 cách chọn (1; 3; 5 hoặc 7)

CĐ2: Chọn 2 chữ số bất kì trong 6 chữ số còn lại và sắp xếp chúng cho vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục, mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử, nên số các số được lập ra là:  (cách)

Có: 4.30 = 120 số lẻ.

3. TỔ HỢP

Bài 1: Lan vừa mua 4 cuốn sách, kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè. 

a. Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?

b. Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?

c. Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?

Giải rút gọn: 

a. Có tất cả 4 cách: {A; B; C} hoặc {A; B: D} hoặc {A; C; D) hoặc (B; C; D). 

b. Có: P₃ = 3! = 6 cách xếp chúng theo thứ tự.

c. Có  cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một.

Bài 2: Tính 

a.

b.

c.

Giải rút gọn: 

a)

b)

c)  

Bài 3: Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.

a. Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b. Sau giải đấu ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp liên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường?

Giải rút gọn: 

a) Nội dung này có tất cả số trận đấu là: 

(cách)

b) Số khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường là:

(khả năng)

Bài 4: Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như Hình 8.

a. Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?

b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?

Giải rút gọn: 

a) Số đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho là:

(đoạn thẳng)

b) Số tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho là:

= 20 (tam giác)

4. TÍNH SỐ CÁC HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Bài 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a.

b.

c.

Giải rút gọn: 

a.

b.

c.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:  Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế.

a. Có bao nhiêu cách xếp?

b. Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp?

Giải rút gọn: 

a. Có: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 (cách)

b. CĐ1: Xếp Nga vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái ⇒ Có 1 cách.

CĐ2: Xếp 4 học sinh còn lại vào 4 chiếc ghế còn lại ⇒ Có: 4!= 4.3.2.1 = 24 (cách)

⇒ Có: 1.24 = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề.

Bài 2: Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?

a. 1; 2; 3; 4; 5; 6.

b. 0; 1; 2; 3; 4; 5

Giải rút gọn: 

a) Có số có 4 chữ số khác nhau.

b) CĐ1: Chọn chữ số hàng nghìn là chữ số khác 0 Có 5 cách chọn.

CĐ2: Chọn 3 chữ số trong 5 chữ số còn lại Có = 60 cách chọn.

Có 5.60 = 300 số thỏa mãn yêu cầu đề.

Bài 3: Tổ Một có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau?

a. 3 bạn được chọn bất kì

b. 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ.

Giải rút gọn: 

a) Có (cách chọn).

b) CĐ1: Chọn 2 bạn nam trong 4 bạn nam trong tổ trực nhật Có (cách chọn).

CĐ2: Chọn 1 bạn nữ trong 5 bạn nữ trong tổ trực Có (cách chọn)

Có 6.5 = 30 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4: Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu ủy ban này?

Giải rút gọn: 

CĐ1: Chọn 1 chủ tịch trong danh sách 8 người Có: (cách chọn)

CĐ2: Chọn một phó chủ tịch trong 7 người còn lại Có: (cách chọn)

CĐ3: Chọn một thư kí trong 6 người còn lại Có: (cách chọn)

CĐ4: Chọn một ủy viên trong 5 người còn lại Có (cách chọn)

Có 8.7.6.5 = 1680 (cách chọn) về kết quả bầu ủy ban này.

Bài 5: Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên?

Giải rút gọn: 

CĐ1: Chọn 3 bạn hỗ trợ đi lại trong 7 bạn đến trung tâm Có: (cách chọn)

CĐ2: Chọn 2 bạn hỗ trợ tắm rửa trong 6 bạn còn lại Có: (cách chọn)

CĐ3: Chọn 2 bạn hỗ trợ ăn uống trong 5 bạn còn lại Có: (cách chọn)

Có: 35.6.1 = 210 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề.

Bài 6:  Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như Hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Giải rút gọn: 

CĐ1: Chọn 2 trong nhóm 4 đường thẳng song song Có (cách)

CĐ2: Chọn 2 trong nhóm 5 đường thẳng song song Có (cách)

Vậy có tất cả 6.10 = 60 hình bình hành được tạo thành.

Bài 7: Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham giá. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?

Giải rút gọn: 

Chọn 2 trong 14 đội bóng tham gia để thi đấu lượt đi Có (trận)

Cả giải đấu lượt đi và về có số trận đấu là: 2.91 = 182 (trận)