BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO

1. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT

Bài 1: Cho vectơ . Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ: , (−) + (−).

Giải nhanh: 

+ =, vectơ + cùng hướng với vectơ

+  = , vectơ () + ngược hướng với .

Bài 2: Cho hai vectơ ,  và một điểm M như Hình 3. 

a. Hãy vẽ các vectơ

b. Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: , ,

Giải nhanh: 

a.

b) = =

Ta có: = =

= 2

Bài 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi + + = 3

Giải nhanh: 

G là trọng tâm tam giác ABC 

+ + =

- + - + - =

+ + - 3 =

+ + = 3 (đpcm)

Bài 4: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng Tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biếu diễn vectơ  của tàu B theo vectơ vận tốc  của tàu A.

Giải nhanh: 

 =

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG HƯỚNG

Bài 1: Cho hai vectơ và cùng phương,  khác  và cho  = . So sánh độ dài và hướng của hai vectơ  và

Giải nhanh: 

Hai vectơ và cùng hướng với nhau

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn + + + = . Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.

Giải nhanh: 

Ta có: + + + =

- + - + - + - =

( + ) - 2 + ( + ) - 2 =

- 2 + - 2 = ( vì I, J là trung điểm của AB, DC)

= -

Ba điểm I, J, G thẳng hàng (đpcm).

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

. + + + = 4

b. + + = 2

Giải nhanh: 

a. Ta có: O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD + + + =

- + - + - + - =

+ + + = 4 (đpcm)

b. Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: + =

+ + = 2 (đpcm)

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a.

b.

Giải nhanh: 

a. Ta có: (M là trung điểm của AB);  (N là trung điểm của CD).

VT= (đpcm)

b. Giả sử:

⬄

⬄

⬄ (luôn đúng)

Vậy

Bài 3. Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho

Giải nhanh: 

Điểm M nằm giữa A và B và

Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng

Giải nhanh: 

Xét VT=

= + + + + + + +

= 2 + ( + ) + 2 + ( + )

= 2 + + 2 + (vì E, F là trung điểm của AB, CD)

= 2( + ) = 2( + + + )

= 4 + 2. (vì G là trung điểm của EF)

= 4 = VP

Vậy + + + = 4

Bài 5. Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc  của máy bay B theo vectơ vận tốc   của máy bay A.

Giải nhanh: 

Tốc độ của máy bay B so với máy bay A là: 800 : 600 =  

=

Từ hình vẽ, ta thấy cùng phương ngược chiều với

=

Bài 6. Cho hai điểm phân biệt A và B.

a. Xác định điểm O sao cho

b. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có

Giải nhanh:

a. O trên đoạn thẳng AB sao cho OA = 3OB

b. Ta có:

⬄

⬄ (đpcm)

Bài 7. Cho tam giác ABC.

a. Xác định điểm M, N thảo mãn

b. Biểu thị mỗi vectơ theo hai vectơ         

c. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Giải nhanh: 

a)

M nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho BC = 2BM

N nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AN = 3BN

P là trung điểm đoạn thẳng AC.

b) = + = +

= + = + = + ( - ) = +

c) Theo phần b, ta thấy: = 2  nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.