BÀI 4. BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

1. ELIP

Bài 1: Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm F₁ và F2. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn F₁F₂. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.

Cho biết 2c là khoảng cách F₁F₂ và 2a + 2c là độ dài của vòng dây. Tính tổng hai khoảng cách F₁M và F₂M.

Giải nhanh: 

F₁M + F₂M = 2a

Bài 2: Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(-c; 0) và F₂(c; 0). Xét điểm M(x; y)

a. Tính F₁M và F₂M theo x, y và c.

b. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (E) ⇔ (x+c)2+y2+(x-c)2+y2 = 2a

Giải nhanh: 

a) F₁M = (xM-xF1)2+(yM-yF1)2 = (x+c)2+y2

F2M = (xM-xF2)2+(yM-yF2)2 = (x-c)2+y2

b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F2M = 2a

 (x+c)2+y2+(x-c)2+y2 = 2a

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.

Giải nhanh: 

Nhìn hình ta có: a = 3; b = 2

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: x29 + y24 = 1

Bài 4: Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m, rộng 10m (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Giải nhanh: 

Phương trình chính tắc của elip (E) là: x225 + y216 = 1

2. HYPEBOL

Bài 1: Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F₁ và F₂. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d - l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F₁F₂ (Hình 6a).

Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm F2. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm F₁ và đoạn thẳng BA có thể quay quanh F₁. Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyển M  trên tấm bìa và giữ một đường (H) (xem Hình 6b).

a. Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có MF₁ - MF₂ = 2a

b. Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F₁, đầu B của thước trùng với F₂ sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F₂ và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c). Tính MF₂ - MF₁.

Giải nhanh: 

a) Ta có: MF2 + MA = l   MA = l - MF2

MF1 + MA = d  MF1 + l - MF2 = d  MF1 - MF2 = d - l = 2a

Vậy MF1 - MF2 = 2a

b) MF2 - MF1 = 2a

Bài 2: Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F₁M - F₂M| = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁ = (-c; 0) và F₂ = (c; 0). Xét điểm M(x; y).

a. Tính F₁M và F₂M theo x, y và c.

b. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (H) ⇔ |(x+c)2+y2-(x-c)2+y2| = 2a.

Giải nhanh: 

a) F1M = (xM-xF1)2+(yM-yF1)2 = (x+c)2+y2

F2M = (xM-xF2)2+(yM-yF2)2 = (x-c)2+y2

b) Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: 

|F1M-F2M | = 2a

 |(x+c)2+y2-(x-c)2+y2| = 2a

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6

Giải nhanh: 

Ta có: 2c = 10 c = 5; 2b = 6 b = 3

a = c2-b2 = 4

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x216 - y29 = 1

Bài 4: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình x2272 - y2402 = 1 (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120m và khoảng cách từ nóc thấp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.

Giải nhanh: 

Theo bài ra ta có, khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng 40m, khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.

Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được: x2272 - 402402 = 1  x2 = 2. 272  x =  272  Bán kính đường tròn nóc bằng 272 m.

Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:  x2272 - 802402 = 1  x2 = 5. 272  x = 275  Bán kính đường tròn đáy bằng 275 m

3. PARABOL

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm F(0; 12), đường thẳng Δ: y + 12 = 0 và điểm M(x; y). Để tìm hệ thức liên hệ giữa x và y sao cho M cách đều F và Δ, một học sinh đã làm như sau:

• Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M lên Δ):

MF = x2+(y-12)2  , MH = d(M, Δ) = |y + 12|

• Điều kiện để M cách đều F và Δ:

MF = d(M, Δ) ⇔ x2+(y-12)2   =  |y + 12 |

⇔ x2+(y-12)2 = (y+12)2  ⇔ x² = 2y ⇔ y = 12x²  (*)

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Giải nhanh: 

Một parabol

Bài 2: Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F(p2; 0) và Δ: x + p2  = 0.

Xét điểm M(x; y).

a. Tính MF và d(M, Δ).

b. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (P) ⇔ (x-p2)2+y2 = |x + p2|

Giải nhanh: 

a) MF = (xF-xM)2+(yF-yM)2 = (x-p2)2+y2

d (M, ) = |x + p2|

b) Ta có (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và  nên MF = d(M, )

 (x-p2)2+y2 = |x + p2|

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0

Giải nhanh: 

(P) có đường chuẩn : x + 1 = 0  p = 2

=> (P) có phương trình y2 = 4x

Bài 4: Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2m

Giải nhanh: 

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y2 = 2px

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m  C(10; 0)

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5m  AC = 2,5 m  A(10; 2,5)

Vì A(10; 2,5)  (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được:

2,52 = 2p. 10  p = 516 

(P): y² = 58x

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: a² = 58. 2  a = 52

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 5 (m)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Viết phương trình chính tắc của:

a. Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16

b. Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12

c. Parabol có tiêu điểm F(12; 0)

Giải nhanh: 

a)  x2100 + y264 = 1

b)  x236 - y24 = 1

c) y2=2x

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên là tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.

a. (C1): 4x²+16y²=1;

b. (C2): 16x²−4y²=144;

c. (C3): x=18y²

Giải nhanh: 

a) Tọa độ các tiêu điểm của (C1) là F1 = (-34; 0); F2 = (34; 0)

b) Tọa độ các tiêu điểm của () là F1 = (-35; 0);  F2 = (35; 0)

c) Tọa độ tiêu điểm của (C3) là F = (2; 0)

Bài 3: Để cắt một bảng quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

• Chuẩn bị:
  • Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
• Thực hiện:

1. Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván).
2. Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh vào kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong Hình 15).

Phải ghim hai cái đinh các mép tấm ván ép bao nhiêu xentimet và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Giải nhanh: 

Ta có: 2a = 80 cm, 2b = 40 cm a = 40 cm, b = 20cm

c = a2-b2 = 402-202 = 203 (cm)

Hai cái đinh cách mép chiều rộng của tấm ván là 40 - 203  5,36 cm.

Vòng dây có độ dài là 2a + 2c = 2. 40 + 2.203  74,64 cm

Bài 4: Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8m, rộng 20m (Hình 16).

a. Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.

b. Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm.

Giải nhanh:

a. x2100 + y264 = 1

b) Điểm A cách chân tường 5m nên A = (5; 0). Ta có độ dài AB chính là khoảng cách từ điểm A đến nóc nhà vòm.

Gọi B(5; yB). Vì B (E) nên thay tọa độ B vào phương trình (E), ta được: 

52100 + yB264 = 1

  = 43  6,9 

Vậy AB = 6,9 m

Bài 5: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình là x2282 - y2422 = 1 (Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tấm đối xứng của hypebol bằng 23 khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Giải nhanh: 

Theo bài ra ta có: OA + OB = 150m, OA = 23 OB  OA = 60m, OB = 90m

A(0; 60), B(0; -90).

Thay y = 60 vào phương trình (H), ta được: x2282 - 602422 = 1 

x =  4149

Bán kính nóc bằng 4149 m.

Thay y = -90 vào phương trình (H), ta được: x2282 - (-90)2422 = 1 

x =  4274

Bán kính đáy bằng 4274 m

Bài 6: Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 100m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 30m, thanh ngắn nhất là 6 m (Hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m.

Giải nhanh: 

Theo bài ra ta có: AO = 6m, AD = 50 m, BD = 30m ⇒ Điểm B có tọa độ B(24; 50)

Gọi phương trình của parabol (P) là y2 = 2px.

Vì B(24; 50)  (P) nên thay tọa độ điểm B vào phương trình (P), ta được:

502 = 2p. 24  p = 62512

Phương trình (P) là: y2 = 6256x

Ta có: ME = Chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m. Gọi E = (m, 18), vì E  (P) nên thay tọa độ E vào phương trình P, ta được: 

182 = 6256. m 

m = 3,1104

ME = 6 + 3,1104 = 9,1104 (m)