BÀI 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Bài 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a. Tính .

b. Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c. Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ và

Giải nhanh: 

a) =

b) H và

c) = ;  =

Bài 2: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: (, ); (, ); (, ); ; (, ); (, )

Giải nhanh: 

(, ) =

(, ) = (, ) =

(, ) = (, ) =

(, ) =

(, ) = .

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Một người dùng một lực có cường độ 10N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100m. Tính công sinh bởi lực , biết rằng góc giữa vectơ   và hướng di chuyển là 45. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực , độ dài  quãng đường và côsin của góc giữa hai  và độ dịch chuyển ).

Giải nhanh: 

A = ||.||.= (J)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng . Tính các tích vô hướng: . .. 

Giải nhanh: 

. = ||. ||.cos(, ) = 1. 1. cos = 0

. = ||. ||. cos(, ) = 1. . cos = 1

. = ||.||.cos(, ) = 1. . cos = 1

Bài 3: Hai vectơ  và  có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là Tính góc giữa hai vectơ  và .

Giải nhanh: 

(, =

Bài 4: Một người dùng một lực   có độ lớn là 20N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50m cùng hướng với . Tính công sinh bởi lực .

Giải nhanh: 

A = 1000 J

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài 1: Cho hai vectơ  ,  vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a. Tính ( + ).( - )

b. Cho = 2 + 2 ; = 3 - 3. Tính tích vô hướng . và tính góc ( , )

Giải nhanh: 

a) = + 2. + = + + 2.||. ||. cos = 2

= - 2. + = + - 2.||. ||. cos = 2

( + ).( - ) = - = - = 0

b) Ta có: . = (2 + 2)(3 - 3) = 6( + )( - ) = 0

(; ) =

Bài 2: Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết gần bằng 120∘. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ và có cùng phương liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và có cùng độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng + được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của μ⃗ .

Giải nhanh: 

Hình bình hành SO₁S'O₂ có hai cạnh liên tiếp bằng nhau SO₁S'O₂ là hình thoi.

SO₁S' là tam giác cân và  có một góc bằng 60^o SO₁S' là tam giác đều.

1,6

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tính vô hướng: ... .

Giải nhanh: 

. = ||. ||. cos(, ) = 0

. = ||. ||. cos(, )=

. = ||. ||. cos(, ) =

. = ||. ||. cos(, ) = 0

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a. .

b. .

Giải nhanh: 

a) Ta có: AO = =

cos = =

Ta có: . = ||. ||. cos(, ) = AB. AO. cos = 2

b) Vì . = 0

Bài 3. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng . trong hai trường hợp:

a. Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b. Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Giải nhanh: 

a) . = ||. ||. cos(, ) = ab

b) . = ||. ||. cos(, ) = -ab

Bài 4. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: . = -

Giải nhanh: 

Ta có: . = ( + )( + )

= + ( + ) + .. 

= + + .  

= + OA.OB. = -  

Vậy . = -

Bài 5. Một người dùng một lực có độ lớn 90N làm một vật di chuyển một đoạn 100m. Biết lực  hợp với hướng dịch chuyển một góc 60∘. Tính công sinh bởi lực .

Giải nhanh: 

A = 4500 J

Bài tập 6. Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là -6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Giải nhanh: 

=