CHƯƠNG V. VECTƠ

BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

HĐKP1:

$\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$ = $\underset{AC}{\rightarrow}$

Kết luận:

• Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho $\underset{AB}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$, $\underset{BC}{\rightarrow}$=$\underset{b}{\rightarrow}$. Khi đó $\underset{AC}{\rightarrow}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ ; $\underset{b}{\rightarrow}$ và được kí hiệu là $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$

Vậy $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ =$\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$= $\underset{AC}{\rightarrow}$

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

• Quy tắc ba điểm:

Với ba điểm M, N, P, ta có: 

$\underset{MN}{\rightarrow}$ + $\underset{NP}{\rightarrow}$= $\underset{MP}{\rightarrow}$

* Chú ý:

Khi cộng hai vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vec tơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Ví dụ 1: SGK-tr89

HĐKP2:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\underset{AB}{\rightarrow}$ = $\underset{DC}{\rightarrow}$

Ta có: $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{AD}{\rightarrow}$ = $\underset{AD}{\rightarrow}$ + $\underset{DC}{\rightarrow}$ = $\underset{AC}{\rightarrow}$ (đpcm).

Quy tắc hình bình hành:

Nếu OABC là hình bình hành thì ta có:

$\underset{OA}{\rightarrow}$ + $\underset{OC}{\rightarrow}$ = $\underset{OB}{\rightarrow}$

Ví dụ 2: SGK -tr89

* Chú ý: 

Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán tìm tổng hai vectơ về bài toán tìm tổng của hai vectơ có chung điểm đầu.

Thực hành 1.

Vì ABCD là hình thang có hai cạnh đấy AB và DC nên AB  DC => $\underset{AB}{\rightarrow}$ cùng hướng với $\underset{DC}{\rightarrow}$.

Ta có: $\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{AC}{\rightarrow}$ + $\underset{CB}{\rightarrow}$ = $\underset{AB}{\rightarrow}$

          $\underset{b}{\rightarrow}$ = $\underset{DB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$ = $\underset{DC}{\rightarrow}$

=> Hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ cùng hướng (đpcm).

Thực hành 2.

Tam giác ABC đều nên AC = AB = BC = a.

Ta có: $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{AC}{\rightarrow}$ = $\underset{BC}{\rightarrow}$

=> |$\underset{BC}{\rightarrow}$| = BC = a.

Vận dụng 1.

Độ dài vectơ tổng là: 

$\sqrt{150^{2}+30^{2}}$=30$\sqrt{26}$ (km/h)

Vận dụng 2.

Áp dụng định lí côsin, ta có:

OC = $\sqrt{(F_{1})^{2}+(F_{2})^{2}-2F_{1}F_{2}cos120^{\circ}}$

= $\sqrt{400^{2}+600^{2}-2.400.600cos120^{\circ}} \approx $871,78 (N)

=> |$\underset{F}{\rightarrow}$| = |$\underset{OC}{\rightarrow}$| 871,78(N)

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG CÁC VECTƠ

HĐKP 2:

a) $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ = $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$ = $\underset{AC}{\rightarrow}$

    $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{EA}{\rightarrow}$ + $\underset{EC}{\rightarrow}$ = $\underset{AC}{\rightarrow}$

b) ($\underset{a}{\rightarrow}$ +$\underset{b}{\rightarrow}$) +$\underset{C}{\rightarrow}$ = ($\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$) + $\underset{CD}{\rightarrow}$ 

= $\underset{AC}{\rightarrow}$ + $\underset{CD}{\rightarrow}$ = $\underset{AD}{\rightarrow}$

   $\underset{a}{\rightarrow}$ + ($\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{C}{\rightarrow}$) = $\underset{AB}{\rightarrow}$ + ($\underset{BC}{\rightarrow}$ + $\underset{CD}{\rightarrow}$) 

= $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BD}{\rightarrow}$ = $\underset{AD}{\rightarrow}$

Nhận xét: Các kết quả bằng nhau.

⇒ Kết luận:

• Tính chất giao hoán:

$\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ =$\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{a}{\rightarrow}$

• Tính chất kết hợp: 

$\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{c}{\rightarrow}$ =  $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$+ $\underset{c}{\rightarrow}$

• Với mọi vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$, ta luôn có:  

$\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{0}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ + $\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{a}{\rightarrow}$

* Chú ý:

Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{c}{\rightarrow}$ với

$\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ + $\underset{c}{\rightarrow}$c = ($\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$) + $\underset{c}{\rightarrow}$

Ví dụ 3: SGK-tr90,91

Thực hành 3:

a) $\underset{a}{\rightarrow}$ = ($\underset{AC}{\rightarrow}$ + $\underset{BD}{\rightarrow}$) + $\underset{CB}{\rightarrow}$ = ($\underset{AC}{\rightarrow}$ + $\underset{CB}{\rightarrow}$) + $\underset{BD}{\rightarrow}$ = $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BD}{\rightarrow}$ =$\underset{AD}{\rightarrow}$

Ta có: |$\underset{AD}{\rightarrow}$| =$\underset{AD}{\rightarrow}$ = 1 nên |$\underset{a}{\rightarrow}$| = 1

b) $\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{AD}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$ + $\underset{DA}{\rightarrow}$ = ($\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$) + ($\underset{AD}{\rightarrow}$ + $\underset{DA}{\rightarrow}$) =$\underset{AC}{\rightarrow}$ + $\underset{AA}{\rightarrow}$ = $\underset{AC}{\rightarrow}$ + 0 =$\underset{AC}{\rightarrow}$

Ta có: |$\underset{AC}{\rightarrow}$| = AC = $\sqrt{2}$ nên |$\underset{a}{\rightarrow}$| = $\sqrt{2}$.

* Chú ý:

 Cho hai vectơ tùy ý $\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{AB}{\rightarrow}$

Ta có: $\underset{a}{\rightarrow}$ + (-$\underset{a}{\rightarrow}$) = $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BA}{\rightarrow}$ = $\underset{AA}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ – không: $\underset{a}{\rightarrow}$ + (-$\underset{a}{\rightarrow}$) = $\underset{0}{\rightarrow}$

3. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

HĐKP3:

$\underset{F}{\rightarrow}$ + (-$\underset{F}{\rightarrow}$) = 0

Kết luận:

Cho hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$. Hiệu của hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ là vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ + (-$\underset{b}{\rightarrow}$) kí hiệu $\underset{a}{\rightarrow}$ - $\underset{b}{\rightarrow}$

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

Ví dụ 4: SGK-tr91

* Chú ý:

Cho ba điểm O, A, B, ta có:

$\underset{OB}{\rightarrow}$ - $\underset{OA}{\rightarrow}$ = $\underset{AB}{\rightarrow}$

Thực hành 4:

a) $\underset{a}{\rightarrow}$= $\underset{OB}{\rightarrow}$ - $\underset{OD}{\rightarrow}$= $\underset{DB}{\rightarrow}$

b) $\underset{b}{\rightarrow}$ = ($\underset{OC}{\rightarrow}$ - $\underset{OA}{\rightarrow}$) + ($\underset{DB}{\rightarrow}$ - $\underset{DC}{\rightarrow}$) = $\underset{AC}{\rightarrow}$ + $\underset{CB}{\rightarrow}$ = $\underset{AB}{\rightarrow}$

4. TÍNH CHẤT VECTƠ CỦA TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM TAM GIÁC 

HĐKP4:

a) $\underset{MA}{\rightarrow}$+ $\underset{MB}{\rightarrow}$ =$\underset{MA}{\rightarrow}$ + $\underset{AM}{\rightarrow}$ = $\underset{MM}{\rightarrow}$ = 0

b) $\underset{GA}{\rightarrow}$ + $\underset{GB}{\rightarrow}$ + $\underset{GC}{\rightarrow}$ = $\underset{GA}{\rightarrow}$ + $\underset{GD}{\rightarrow}$ = $\underset{DG}{\rightarrow}$ + $\underset{GD}{\rightarrow}$ = $\underset{DD}{\rightarrow}$ = 0

Kết luận:

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\underset{MA}{\rightarrow}$ + $\underset{MB}{\rightarrow}$ = 0

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\underset{GA}{\rightarrow}$ + $\underset{GB}{\rightarrow}$ + $\underset{GC}{\rightarrow}$  = 0

Ví dụ 5: SGK-tr92

Thực hành 5:

a) M là trọng tâm của tam giác ABD;

b) N là trọng tâm của tam giác BCD;

c) P là trung điểm của MN.