Giải bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - sách chân trời sáng tạo toán 10 tập 1. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học.

KHỞI ĐỘNG

Hai đường thẳng d: = -x - 2 và d': y = x + 1 chia mặt phẳng tọa độ thành bốn miền khác nhau (không tính đường thẳng d và d') như hình bên.

Giải bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để kí hiệu một trong bốn miền đó, người ta đã tạo nhãn:

Giải bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hãy đặt nhãn này vào miền phù hợp.

Hướng dẫn giải:

Giải bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Khám phá 1: Một người nông dân dự định quy hoạch x sào đất trồng cà tím vfa y sào đất trồng cà chua. Biết rằng người đó chỉ có tối đa 9 triệu đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng cà tím là 200 000 đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là 100 000 đồng. 

a. Viết các bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với x, y.

b. Cặp số nào sau đây thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên? 

(20; 40), (40; 20); (-30; 10).

Hướng dẫn giải:

a. $\left\{\begin{matrix} 0,2x + 0,1y \leq 9\\ x \geq 0\\y \geq 0\end{matrix}\right.$

b. Cặp số (20; 40) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên.

Thực hành 1: Hãy chỉ ra hai nghiệm của bất phương trình trong Ví dụ 1.

Hướng dẫn giải:

a. $\left\{\begin{matrix}  3x + y - 1 \leq 0\\ 2x - y + 2 \geq  0\end{matrix}\right.$

(0; 0) và (0; 1) là hai nghiệm của bất phương trình trên.

b. $\left\{\begin{matrix} y - 1 < 0\\ x + 2 \geq  0\end{matrix}\right.$

(0; 0) và (1; -1) là hai nghiệm của bất phương trình trên.

c. $\left\{\begin{matrix} x + y - 3 \leq 0\\ -2x + y + 3 \geq 0\\ x \geq 0\\ y \geq 0\end{matrix}\right.$

(0; 1) và ( 1; 1) là hai nghiệm của bất phương trình trên.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Khám phá 2: Cho hệ bất phương trình: $\left\{\begin{matrix} x + y - 3 \leq 0\\ -2x + y + 3 \geq 0\end{matrix}\right.$

Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho?

Giải bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hướng dẫn giải:

Miền không gạch chéo trong hình 1 là miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Thực hành 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{matrix} x + y \leq  8\\ 2x + 3y \leq 18\\ x \geq 0\\ y \geq 0\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miền không tô màu (miền tứ giác OABC, bao gồm các cạnh) là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

3. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC F = ax + by TRÊN MỘT MIỀN ĐA GIẮC

Vận dụng: Một người bán nước giải khát đang có 24g bột cam, 9l nước và 210g đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế 1l nước cam loại A cần 30g đường, 1l nước và 1g bột cam; để pha chế 1l nước cam loại B cần 10g đường, 1l nước và 4g bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất?

Hướng dẫn giải:

Tóm tắt bài toán:

Loại nguyên liệu

Khối lượng nguyên liệu

Khối lượng nguyên liệu để sản xuất 1 lít nước cam

Loại A

Loại B

Bột cam

24g

1g

4g

Đường

210g

30g

10g

Nước

9l

1l

1l

Gọi x là số lít nước cam loại A pha chế được, y là số lít nước cam phá chế được. Ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{matrix} x + 4y \leq  24\\ 3x + 1y \leq 21\\ x + y \leq 9\\ x \geq 0\\ y \geq 0\end{matrix}\right.$

Giải bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta có điểm B là giao điểm của đường thẳng x + y = 9 và x + 4y = 24 nên tọa độ điểm B là 

$\left\{\begin{matrix} x + y = 9\\ x + 4y = 24\end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} x = 4\\ y = 5\end{matrix}\right.$

Ta có điểm C là giao điểm của đường thẳng x + y = 9 và 3x + y = 21 nên tọa độ điểm C là:

$\left\{\begin{matrix} x + y = 9\\ 3x + y = 21\end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} x = 6\\ y = 3\end{matrix}\right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác OABCD với các đỉnh O(0; 0); A(0, 6); B( 4; 5); C(6;3); D(7; 0).

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: nghìn đồng) thu được: F = 60x + 80y 

Tính giá trị của F tại các đỉnh của ngũ giác:

  • Tại O(0;0): F = 60. 0 + 80. 0 = 0
  • Tại A(0; 6): F = 60. 0 + 80. 6 = 480
  • Tại B(4; 5): F = 60. 4 + 80. 5 = 640
  • Tại C(6; 3): F = 60. 6 + 80. 3 = 600
  • Tại D(7;0): F = 60. 7 + 80. 0 = 420

F đạt giá trị lớn nhất bằng 640 nghìn đồng tại B(4; 5).

Vậy cần sản xuất 4 lít nước cam loại A và 5 lít nước cam loại B để có lãi cao nhất.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Bài tập 1. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau:

a. $\left\{\begin{matrix} x + y - 3 \geq 0\\ x \geq 0\\ y \geq 0\end{matrix}\right.$

b. $\left\{\begin{matrix} x - 2y < 0\\ x + 3y > -2\\ y - x < 3\end{matrix}\right.$

c. $\left\{\begin{matrix} x \geq 1\\ x \leq 4\\ x + y - 5 \leq 0\\ y \geq 0\end{matrix}\right.$

Bài tập 2. Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25kg khí carbon dioxide ($CO_{2}$) và 0,60kg khí sulfur dioxide($SO_{2}$), sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50kg $CO_{2}$ và 0,20kg $SO_{2}$. Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng $CO_{2}$ của nhà máy tối đa là 75kg và $SO_{2}$ tối đa là 90kg mỗi ngày.

a. Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.

b. Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?

c. Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?

Bài tập 3. Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. 

Bài tập 4. Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm.  Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

Bài tập 5. Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng/ giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau:

a. Mạnh muốn chi phí luyện tập là ít nhất.

b. Mạnh muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất.

Nội dung quan tâm khác

Từ khóa tìm kiếm: giải sgk toán 10 chân trời sáng tạo, giải ctst toán 10 tập 1, giải toán 10 tập 1 bài 2, giải bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bình luận

Giải bài tập những môn khác