CHƯƠNG VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. TAM THỨC BẬC HAI

HĐKP1.  

a) Biểu thức y = f(x) = -x$^{2}$ + x + 3 được biểu diễn trong Hình 1 là đa thức bậc hai.

b) Có: f(2) = −2$^{2}$ + 2 + 3 = 1 > 0

Vậy f(2) mang dấu dương. 

=> Kết luận:

Đa thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

* Lưu ý:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0). Khi thay x bằng giá trị x$_{0}$ vào f(x), ta được f(x$_{0}$) = a x$_{0}^{2}$ + bx$_{0}$ + c, gọi là giá trị của tam thức bậc hai tại x$_{0}$.

+ Nếu f(x$_{0}$) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x$_{0}$.

+ Nếu f(x$_{0}$) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x$_{0}$.

+ Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm)trên khoảng hoặc đoạn đó.

Ví dụ 1:  SGK – tr7.

Thực hành 1:

a) Biểu thức f(x) = −2x$^{2}$ + x - 1 là một tam thức bậc hai.

f(1) =2.1$^{2}$ + 1−1 = 2 > 0 

⇒ f(x) dương tại x =  1

b) Biểu thức g(x) =−x$^{4}$ + 2x$^{2}$ + 1 không là tam thức bậc hai.

c) h(x)= −x$^{2}$ +  $\sqrt{2}$x −3 là tam thức bậc hai. 

h(1) = −1$^{2}$ + $\sqrt{2}$.1 – 3 

= −4 + 2 $\approx $ -2,6 < 0 

=> h(x) âm tại x = 1.

Kết luận:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:

+  Nghiệm của phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c = 0 là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức ∆ = b$^{2}$ – 4ac và ∆'= ($\frac{b}{2}$)$^{2}$- ac  lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x)

Ví dụ 2: SGK – tr7

Thực hành 2:

a) Tam thức bậc hai  y=f(x)=2x$^{2}$-5x+2 có : 

Δ=(-5)$^{2}$-4.2.2=9 >0

f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

x$_{1}$=$\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.2}$=2 và x$_{2}$=$\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.2}$=12 

b) Tam thức bậc hai  y=g(x)=-x$^{2}$+6x-9 có : 

Δ=(6)$^{2}$-4.(-1).(-9)=0 

=> g(x) có nghiệm kép là: 

x$_{1}$=x$_{2}$=$\frac{-6}{2.(-1)}$=3

c) Tam thức bậc hai  y=h(x)=4x$^{2}$-4x+9 có : 

Δ=(-4)$^{2}$-4.4.9=-128 < 0 

=> g(x) vô nghiệm. 

2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

HĐKP2.  

+ Hình a:

 y=f(x)=-x$^{2}$+2x-2 

Δ<0 ; f(x) vô nghiệm

Có a = -1 < 0; f(x) < 0, mọi x∈R

+ Hình b: 

y=f(x)=-x$^{2}$+2x-1.

Δ=0;  f(x)  có nghiệm kép  x$_{1}$ = x$_{2}$ = 1

Có a =  -1 <0; f(x) <0, mọi x∈R \{1}

+ Hình c:

y=f(x)=-x$^{2}$+2x+3

Δ>0 ; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x$_{1}$ = -1 và x$_{2}$ = 3.

Có: a = -1 < 0; f(x) < 0  khi x∈(-∞;- 1)U(3;+ ∞) .

+ Hình d:

y=f(x)=x$^{2}$+6x+10

Δ<0 ; f(x) vô nghiệm.

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R

+ Hình e:

y=f(x)=x$^{2}$+6x+9

Δ=0 ; f(x) có nghiệm kép  x$_{1}$ = x$_{2}$ = -3

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R \{-3}

Hình g: 

y=f(x)=x$^{2}$+6x+8

Δ>0; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x$_{1}$ = -4 và x$_{2}$ = -2.

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 khi x∈(-∞;- 4)U(-2;+∞)

=> Kết luận:

Cho tam thức bậc hai f(x) =ax$^{2}$ + bx + c (a $\neq $ 0)

+ Nếu ∆ <0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

+ Nếu ∆ =0 và x$_{0}$ = -$\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x$_{0}$ .

+ Nếu ∆ >0 và x$_{1}$; x$_{2}$ là hai nghiệm của f(x) (x$_{1}$ < x$_{2}$) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x$_{1}$; x$_{2}$); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; x$_{1}$) ; (x$_{2}$; +∞).

* Chú ý:

a) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ +bx+c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆ ;

Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;

Bước 4: Xác định dấu của f(x).

Ví dụ 3: SGK – tr9

Thực hành 3.

a) f(x)=2x$^{2}$-3x-2 có: =25 > 0, hai nghiệm phân biệt là  x$_{1}$ = -$\frac{1}{2}$ và x$_{2}$ = -2.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong khoảng (-∞;  -$\frac{1}{2}$)U(-$\frac{1}{2}$ ; +∞) và âm trong khoảng (-$\frac{1}{2}$ ; 2). 

b) g(x)=-x$^{2}$+2x-3 có: Δ=-8 < 0 và a = -1 < 0.

Vậy g(x) âm với mọi x∈R.

Vận dụng:

y=h(x)=-0,006x$^{2}$+1,2x-30 

có: Δ=1825>0 hai nghiệm phân biệt là:

x$_{1}$=$\frac{-1,2+\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\frac{-3}{250}}$=100-50$\sqrt{2}$ 

x$_{2}$=$\frac{-1,2-\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\frac{-3}{250}}$=100+50$\sqrt{2}$ 

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu khi x∈(100-50$\sqrt{2}$;100+50$\sqrt{2}$) và thấp hơn mặt cầu khi x∈(-∞; 100-50$\sqrt{2}$)U(100+50$\sqrt{2}$;+ ∞ )