CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 1: DÃY SỐ

I. KHÁI NIỆM

LT-VD 1 trang 44 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số u(n) = n³ xác định trên tập hợp M = {1;2;3;4;5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển

Giải nhanh:

Số hạng đầu của khai triển là:

Số hạng cuối của khai triển là:

.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125

LT-VD 2 trang 44 sgk toán 11 cánh diều   

Cho dãy số (u_n)=n²

a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

b) Viết dạng khai triển của dãy số (u_n)

Giải nhanh:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là:

Số hạng tổng quát của dãy số là với .

b) Dạng khai triển của dãy số:

II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

LT-VD 3 trang 46 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (u_n) với ... Tìm u₃₃, u₃₃₃ và viết dãy số dưới dạng khai triển

Giải nhanh:

Ta có: ;

Dãy số dưới dạng khai triển là:

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

LT-VD 4 trang 46 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng dãy số (v_n) với v_n=1/3ⁿ là một dãy số giảm

Giải nhanh:

Ta có:

Xét hiệu:

Suy ra

Vậy dãy số giảm.

IV. DÃY SỐ BỊ CHẶN

LT-VD 5 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng dãy số (u_n) với... là bị chặn

Giải nhanh:

Ta có: 

Ta lại có:

Do đó

Vậy dãy số bị chặn

BT 1 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức sau…

Giải nhanh:

a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (u_n) là:

. 

b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

; ; ; ; 

. 

c) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

.

BT 2 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

a) Gọi u_n là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (un). 

b) Gọi v_n là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (v_n).

Giải nhanh:

a) Số chấm ở hàng thứ nhất là:

Số chấm ở hàng thứ hai là:

Số chấm ở hàng thứ ba là:  

Số chấm ở hàng thứ tư là:

Vậy số chấm ở hàng thứ n là:

b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là:

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là:

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là:

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là:

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng

BT 3 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết…

Giải nhanh:

a) Ta có:

Xét hiệu

Suy ra

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có:

Vì nên suy ra

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c) Ta có:

+) Nếu n chẵn thì và . Do đó

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì và . Do đó

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng

BT 4 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn...

Giải nhanh:

a) Ta có: nên suy ra

Do đó

Vậy dãy số bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: nên suy ra

Do đó

Vậy dãy số bị chặn trên bởi

c) Ta có:

Vì nên suy ra

Ta lại có: và suy ra

Do đó

Vậy dãy số bị chặn

BT 5 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số thực dương (u_n). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi…

Giải nhanh:

+) Nếu với mọi thì . Do đó dãy số là dãy số tăng.

+) Nếu là dãy số tăng thì do đó

BT 6 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P_n (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng. 

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng

c) Dự đoán công thức của P_n tính theo n

Giải nhanh:

Gọi (triệu đồng) là số tiền ban đầu mà chị Mai gửi vào.

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng kể cả tiền gửi thêm là:

(triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

(triệu đồng)

+) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

(triệu đồng)

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

với mọi n ∈ ℕ^*