BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

BT 1 trang 120 sgk toán 11 cánh diều

Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi:

A. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. 

B. Hai đường thẳng không có điểm chung. 

C. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng. 

D. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.

Giải nhanh: 

A. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

BT 2 trang 120 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Giải nhanh:

D. 4

BT 3 trang 120 sgk toán 11 cánh diều

Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi: 

A. Đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng. 

B. Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung. 

C. Đường thẳng đó không có điểm chung với một đường thẳng thuộc mặt phẳng. 

D. Đường thẳng đó không có điểm chung với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.

Giải nhanh:

B. Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.

BT 4 trang 120 sgk toán 11 cánh diều

Trong không gian, hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi:

A. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng còn lại. 

B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng. 

C. Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba. 

D. Hai mặt phẳng không có điểm chung.      

Giải nhanh:

A. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng còn lại. 

BT 5 trang 120 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2PC. 

a) Xác định giao điểm E của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD). 

b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP). 

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP). 

d) Gọi I là giao điểm của MQ và NP, G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng C, I, G thẳng hàng.

Giải nhanh:

a) Trong mp(ABC), kéo dài MP cắt BC tại E. 

Ta có: )

=>

b) Nối NE, NE cắt CD tại Q.

Ta có:

=>

c) Ta có: nên P là giao điểm của (ACD) và (MNP).

Lại có nên Q là giao điểm của (ACD) và (MNP).

=> PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

d)

+) Ta có:

Như vậy GC là giao tuyến của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

+) Mặt khác, 

=> giao tuyến GC của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC) đi qua điểm I.

Như vậy ba điểm C, I, G thẳng hàng.

BT 6 trang 120 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với mỗi mặt phẳng sau: 

a) (SCD)

b) (SBC)

Giải nhanh:

a) Trong mp(ABCD), kéo dài AM cắt DC tại E. 

Ta có nên

Lại có:

Như vậy

b) Trong mp(SCD), gọi F là giao điểm của SC và NE.

Ta có: nên

Lại có:

Như vậy

BT 7 trang 121 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB∥CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng:

a) MN ∥ (SCD)

b) DM ∥ (SBC)

c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD sao cho SI/SD = 2/3. Chứng minh rằng: SB ∥ (AIC).

Giải nhanh:

a) Trong mp(SAB), xét có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB 

=> MN là đường trung bình của tam giác

=>

Mà giả thiết) nên

Lại có nên

b) +) Theo câu a, MN là đường trung bình của nên

Mà  

=> .

+) Xét tứ giác MNCD có: MN // CD và MN = CD nên MNCD là hình bình hành

=> DM // CN

Mà nên

c) Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do theo định lí Thalès ta có:

=> , nên

Trong mp(SDB), xét có nên (theo định lí Thalès đảo)

Mà

BT 8 trang 121 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Lấy M, M' lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B'C'; lấy các điểm G, G', K lần lượt thuộc các đoạn AM, A'M', A'B sao cho…

a) Chứng minh rằng C'M ∥ (A'BM'). 

b) Chứng minh rằng G'K ∥ (BCC'B').

c) Chứng minh rằng (GG'K) ∥ (BCC'B'). 

d) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt cạnh CC' tại điểm I. Tính IC/IC’

Giải nhanh:

a) Trong mp(BCC’B’) có: 

Tứ giác BCC’B’ là hình bình hành 

=> BC // B’C’ và BC = B’C’

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ 

=>

Tứ giác BMC’M’ có:

BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ 

=> BMC’M’ là hình bình hành

=>

=>

b) Trong mp(A’BM’), xét có:

   => G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)

Mà

c) +) Do tứ giác CC’M’M là hình bình hành nên C’C // M’M và C’C = M’M

Mà A’A=C’C, A’A//C’C;

Xét tứ giác AMM’A’ có: 

A’A // M’M và A’A = M’M

=> AMM’A’ là hình bình hành 

=> A’M’ // AM và A’M’ = AM.

+)  Ta có: nên do đó

+) Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.

=> GMM’G’ là hình bình hành 

=> G’G // M’M

Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).

+) Ta có:

G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

Do đó

d) Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có:

Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên

+) Theo đề bài, và đi qua K nên chính là mp(IJK).

Khi đó CC’ cắt tại I.

Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có:

=>

Theo đề bài, hay do đó

Như vậy

BT 9 trang 121 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C'D'. 

a) Chứng minh rằng (A'DN) ∥ (B'CM). 

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D'B với các mặt phẳng (A'DN), (B'CM). Chứng minh rằng D'E = BF = ½.EF

Giải nhanh:

a) Ta có:

=> A’D // B’C, mà => A’D // (B’CM).

=> MB’ // DN, mà MB’ ⊂ (B’CM) => DN // (B’CM).

+) Ta có:

A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN)

=>

b)+) Trong mp(A’B’C’D’), gọi J là giao điểm của A’N và B’D’.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt DJ tại E.

Trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của CM và BD.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt B’I tại F.

Ta có: mà DJ ⊂ (A’DN) nên E là giao điểm của D’B và (A’DN).

mà B’I ⊂ (B’CM) nên F là giao điểm của D’B và (B’CM).

+) Ta có:

=>

+) Ta có IF // DE nên theo định lí Thalès ta có:

+) Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Xét ∆ABC, hai đường trung tuyến BO, CM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác

=> mà BD = 2BO, nên

Từ (1) và (2) suy ra

=> ⇔

Chứng minh tương tự:

=> hay

Do đó nên

BT 10 trang 121 sgk toán 11 cánh diều

Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) ∥ (EFMH), CK ∥ DH. Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (R) đi qua K và song song với mặt phẳng (ABCD).

a) Hãy giúp bác thợ mộc xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt của khối gỗ để cắt được chính xác. 

b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm DH, BF với mặt phẳng (R). Biết BF = 60 cm, DH = 75 cm, CK = 40 cm. Tính FJ.

Giải nhanh:

a) Trong qua K vẽ đường thẳng // CD, cắt DH tại N.

Trong , qua K vẽ đường thẳng // BC, cắt BF tại P.

+) Ta có: NK // CD, mà CD ⊂ (ACBD) nên NK // (ABCD).

           KP // BC, mà BC ⊂ (ACBD) nên KP // (ABCD).

           NK, KP cắt nhau tại K trong mp(NPK)

Do đó

Khi đó mp(R) qua K và // (ABCD) trùng với mp

Trong mp(ADHE), qua N vẽ đường thẳng // AD, cắt AE tại Q.

Như vậy: 

b) Ta có: 

DH cắt NK tại N, mà nên giao điểm của DH và (R) là điểm N.

Theo bài, I là giao điểm của DH và (R) nên

Tương tự

+) Ta có: (ABCD) // (EFMH) và (R) // (ABCD) nên (EFMH) // (R) // (ABCD).

Lại có, hai cát tuyến FB, HD cắt ba mặt phẳng song song (EFMH), (R), (ABCD) lần lượt tại F, J, B và H, I, D nên theo định lí Thalès ta có:

+) Mặt khác trong mp(CDKH), tứ giác CDIK có: 

CK // DI và IK // CD

=> CDIK là hình bình hành

=>

+) Khi đó

Ta có: =>

Như vậy