BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG

I. ĐỊNH NGHĨA

LT-VD 1 trang 49 sgk toán 11 cánh diều

Cho (u_n) là cấp số cộng với u₁ = −7, u₂ = −2. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó

Giải nhanh:

LT-VD 2 trang 50 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (u_n) với u_n = −5n + 7 (n≥1). Dãy (u_n) có là cấp số cộng không? Vì sao?

Giải nhanh:

Ta có:  

Xét hiệu:  

Do đó là một cấp số cộng

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

LT-VD 3 trang 50 sgk toán 11 cánh diều

Hãy giải bài toán trong phần mở đầu

Giải nhanh:

; m.

m

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

LT-VD 4 trang 51 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau: 

a) 3,1, -1, ... với n = 10

b) 1, 2; 1, 7; 2, 2; ... với n = 15

Giải nhanh:

a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu và công sai

Khi đó

BT 1 trang 51 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? 

a) 10,−2,−14,−26,−38

b) 12,54,2,114,72

c) 12,22,32,42,52

d) 1,4,7,10,13

Giải nhanh:

a) 10; – 2; – 14; – 26; – 38 là cấp số cộng có và

b)  là cấp số cộng có và

c) không là cấp số cộng vì

d) 1; 4; 7; 10; 13 là cấp số cộng có và

BT 2 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u₁ và công sai d

a) n

b)

c)

Giải nhanh:

a) Ta có:

=>

Vì vậy đây là một cấp số cộng có và

b) Ta có:

=>

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai

c) Ta có:

=> với

Vì vậy đây không là một cấp số cộng

BT 3 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = −3, công sai d = 5. 

a) Viết công thức của số hạng tổng quát u_n. 

b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?          

Giải nhanh:

a)  

b) Xét

Như vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên.

c) Xét

Như vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300

BT 4 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 4, u₂ = 1. Tính u₁₀

Giải nhanh:

Công sai của cấp số cộng là

=>

BT 5 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = 1/3 và u₁ + u₂ + u₃ = −1

a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát u_n.

b) Số −67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? 

c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Giải nhanh:

a)

<=>

=>

Mà =>

  với mọi

b) Xét

Như vậy số – 67 là số hạng thứ 101 của dãy.

c) Xét

Ta thấy

Như vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng

BT 6 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số  (u_n) với u_n = 0,3n + 5 với mọi n ≥ 1

Giải nhanh:

Ta có:

Xét hiệu

Do đó là một cấp số cộng với và .

=> .

BT 7 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: x_n = 75 + 5(n−1). 

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?

b) Dãy số (x_n) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?

Giải nhanh:

a) (cm)

b) Ta có :

=>

Do đó là một cấp số cộng có và

BT 8 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: 

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. 

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. 

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Giải nhanh:

• Theo phương án 1: Gọi là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số lập thành một cấp số cộng có và .

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

• Theo phương án 2: Gọi là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số lập thành một cấp số cộng có và .

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

• Theo phương án 1: (triệu đồng)

(Triệu đồng).

• Theo phương án 2: (triệu đồng)

(triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.

b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có:

• Theo phương án 1: (triệu đồng)

(triệu đồng)

• Theo phương án 2: .

(triệu đồng)

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2