BÀI 5. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

I. HÌNH LĂNG TRỤ 

LT-VD 1 trang 111 sgk toán 11 cánh diều

Cho một số ví dụ về những đồ dùng, vật thể trong thực tế có dạng hình lăng trụ. Giải nhanh:

Tháp Blade, lều, lồng đèn,...

II. HÌNH HỘP

LT-VD 2 trang 112 sgk toán 11 cánh diều 

Hãy liệt kê các đường chéo của hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 73)

Giải nhanh:

LT-VD 3 trang 113 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng bốn mặt phẳng (ABC'D'), (BCD'A'), (CDA'B'), (DAB'C') cùng đi qua một điểm. 

Giải nhanh:

Gọi O là giao của AC’ và BD’. 

Nên đi qua O.
Vậy bốn mặt phẳng cùng đi qua một điểm.

BT 1 trang 113 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (ACB') ∥ (A'C'D). 

b) Gọi G₁,G₂ lần lượt là giao điểm của BD' với các mặt phẳng (ACB') và (A'C'D). Chứng minh rằng G₁,G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB' và A'C'D. 

c) Chứng minh rằng BG₁ = G₁G₂ = D’G₂. 

Giải nhanh:

a) Tứ giác có:

  và  

=> Tứ giác là hình bình hành. 

=> , mà  

=> .

Tương tự, tứ giác cũng là hình bình hành 

=> , mà  

=> . 

Từ (1) và suy ra .

b) Gọi và lần lượt là tâm của các hình bình hành và . Trong mặt phẳng , gọi lần lượt là giao điểm của ' với và .

Khi đó, và .

Mà nên . 

Xét tam giác có: 

Trung tuyến  

=> là trọng tâm của tam giác .

Chứng minh tương tự, ta cũng có là trọng tâm của tam giác .

c) Trong mặt phẳng có: 

nên hay . 

Tương tự, ta cũng có .

=>

BT 2 trang 113 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA', C'D', AD'. Chứng minh rằng: 

a) NQ ∥ A'D' và NQ = ½.A'D';

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành

c) MN ∥ (ACD')

d) (MNP) ∥ (ACD'). 

Giải nhanh:

a)

+) Xét có N, Q lần lượt là trung điểm của AA’ và AD’

=> NQ là đường trung bình của tam giác

=> và

b)

Ta có: mà nên NQ // BC hay NQ // MC.

mà  nên

=> NQ = MC.

Tứ giác MNQC có và NQ = MC nên là MNQC hình bình hành.

c)

Do MNQC hình bình hành nên MN // QC

Mà nên

d)

Gọi O là trung điểm của ABCD.

+) Xét tam giác ABC có O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác

Do đó OM // AB và

Lại có và D’C’ = AB nên OM = D’P.

+) Xét tứ giác D’PMO có OM // D’P và OM = D’P nên D’PMO là hình bình hành

=> PM // D’O

Mà ) nên

+) Ta có: 

MN, PM cắt nhau tại điểm M và cùng nằm trong mp(MNP)

=>

BT 3 trang 113 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A'B'.

a) Chứng minh rằng EF ∥ (BCC'B'). 

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC'B). Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng CF.

Giải nhanh:

a) Lấy là trung điểm của . 

Tứ giác là hình bình hành nên , mà  

=>.

Do là đường trung bình tam giác nên , mà

=>.

Từ (1) và (2) suy ra .

suy ra

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của và . 

Do nên thuộc mặt phẳng

Như vậy là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Tứ giác có và  

=> Tứ giác là hình bình hành nên là giao điểm của hai đường chéo và nên là trung điểm của