BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 

I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG PHÂN BIỆT              

LT-VD 1 trang 97 sgk toán 11 cánh diều

Quan sát một phần căn phòng (Hình 35), hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng a và b; a và c; b và c. 

Giải nhanh:

• a // b

•  Hai đường thẳng a và c chéo nhau

• Hai đường thẳng b và c cắt nhau

II. TÍNH CHẤT

LT-VD 2 trang 99 sgk toán 11 cánh diều   

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).

Giải nhanh:

+) Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Mà AB // CD; AB ⊂ (SAB); CD ⊂ (SCD).

=> Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng n đi qua S và song song với AB và CD.

+) Ta có: S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S là giao điểm của (SAD) và (SBC).

Mà AD // BC; AD ⊂ (SAD); BC ⊂ (SBC).

=> Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng p đi qua S và song song với AD và BC.

LT-VD 3 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SC. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, BC sao cho BP/BA = BQ/BC = 13. Chứng minh rằng MN song song với PQ. 

Giải nhanh:

+) Xét tam giác SAC, có:

M là trung điểm SA, N là trung điểm của SC

Do đó MN là đường trung bình của tam giác SAC.

=> MN // AC (1)

+) Xét tam giác ABC, có .

=> PQ // AC (định lí Thalès đảo) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ

BT 1 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Quan sát phòng học của lớp và nêu lên hình ảnh của hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau. 

Giải nhanh:

Một số hình ảnh hai đường thẳng song song: Hai rìa mép thước thẳng, hai đường viền bàn đối nhau, đường viền chân tường và đường viền trần nhà, hai đường viền bảng đối nhau, ...

Một số hình ảnh về hai đường thẳng cắt nhau: Hai rìa mép thước kề nhau, hai đường viền bảng kề nhau, đường góc tường và đường chân tường , ...

Một số hình ảnh về hai đường thẳng chéo nhau: Đường chéo của bàn học với đường góc tường, ...

BT 2 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Quan sát Hình 43 và cho biết vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin gió có trong hình.

Giải nhanh:

Song song

BT 3 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, SD. Xác định giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau: (SAD) và (SBC); (MNP) và (ABCD). 

Giải nhanh:

+) Ta có: ABCD là hình bình hành nên AD // BC

Mà AB ⊂ (SAB);

      BC ⊂ (SBC);

      S ∈ (SAB) và S ∈ (SBC).

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC.

+) Trong tam giác SAD, có: M, P lần lượt là trung điểm của SA, SD

Do đó MP là đường trung bình nên MP // AD.

Mà MP ⊂ (MNP);

      AD ⊂ (ABCD);

      N ∈ (MNP) và N ∈ (ABCD).

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) là đường thẳng đi qua N và song song với AD và BC, cắt CD tại Q, hay giao tuyến là đường thẳng NQ.

BT 4 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁,G₂ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng đường thẳng G₁G₂ song song với đường thẳng CD.

Giải nhanh:

+) Trong mặt phẳng ABC, kẻ đường trung tuyến AM (M ∈ BC).

Do G₁ là trọng tâm của tam giác ABC nên

+) Trong mặt phẳng ABD, kẻ đường trung tuyến AN (N ∈ BD).

Do G₂ là trọng tâm của tam giác ABD nên

+) Xét tam giác AMN, có nên G₁G₂ // MN (định lí Thalès đảo).

+) Xét tam giác BCD, có: 

M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

MN là đường trung bình của tam giác BCD.

=> MN // CD

Mà G₁G₂ // MN => G₁G₂ // CD

BT 5 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB. Chứng minh rằng đường thẳng NC song song với đường thẳng MD.

Giải nhanh:

Trong mặt phẳng (SAB), có: M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

Do đó MN là đường trung bình của tam giác

=> MN // AB và

Lại có AB // CD và AB = 2CD hay

=> MN // CD và MN = CD.

=> MNCD là hình bình hành.

Vì vậy MD // NC

BT 6 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SM, SN, SP, SQ. 

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành. 

b) Chứng minh rằng IK∥BC. 

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC).

Giải nhanh:

a) 

Trong tam giác SMN, có: IJ // MN và

Trong tam giác SQP, có: LK // QP và

Mà QP // AC // MN và

Do đó IJ // LK  và IJ = LK.

Vậy I, J, K, L đồng phẳng.

Xét tứ giác IJKL có IJ // LK và IJ = LK nên IJKL là hình bình hành.

b)

Trong tam giác SMP có: 

IK // MP 

MP // AD // BC 

=> IK // BC

c) Ta có: J ∈ SN mà SN ⊂ (SBC) nên J ∈ (SBC)

Lại có J ∈ (IJKL)

=> J là giao điểm của (IJKL) và (SBC).

Mặt khác: IK // BC ; IK ⊂ (IJKL); BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC) là đường thẳng đi qua J song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại B’ và C’, hay giao tuyến là đường thẳng B’C’

BT 7 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Trên cạnh AC lấy điểm K. Gọi M là giao điểm của BK và AI, N là giao điểm của DK và AJ. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD. 

Giải nhanh:

+) Ta có: B ∈ (BDK) và B ∈ (BCD) nên B là giao điểm của (BDK) và (BCD).

             D ∈ (BDK) và D ∈ (BCD) nên D là giao điểm của (BDK) và (BCD).

=> (BDK) ∩ (BCD) = BD.

+) Ta có: M ∈ BK mà BK ⊂ (BDK) nên M ∈ (BDK); 

             M ∈ AI mà AI ⊂ (AIJ) nên M ∈ (AIIJ)

=> M là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có N là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

=> MN là giao tuyến của (BDK) và (AJII).

+) Ta có: I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD)

Lại có I ∈ (AIJ) nên I là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có J là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

=> IJ là giao tuyến của (BCD) và (AIJ).

+) Xét DBCD có I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác => IJ // BD

+) Ta có: (BDK) ∩ (BCD) = BD; (BDK) ∩ (AIJ) = MN; (BCD) ∩ (AIJ) = IJ; IJ // BD => MN // BD