BÀI 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN

I. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Quan sát Hình 32 và cho biết:

a) Hình chiếu của đường thẳng MO trên mặt phẳng (P) là đường thẳng nào;

b) Góc giữa đường thẳng MO và hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng (P) là góc nào.

Giải nhanh: 

a) HO

b)

Bài 2: Giả sử ở những giây đầu tiên sau khi cất cánh. máy bay chuyển động theo một đường thẳng tạo với mặt đất một góc 20^∘ và có vận tốc 200 km/h. Tính độ cao của máy bay so với mặt đất theo đơn vị mét sau khi máy bay rời khỏi mặt đất 2 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). 

Giải nhanh: 

Đổi

Mô hình hóa như hình vẽ, với là quãng đường máy bay bay được sau 2 giây, là độ cao của máy bay so với mặt đất khi máy bay bay được 2 giây, độ lớn của là chỉ số đo góc giữa đường thẳng máy bay bay và mặt đất.

- Sau 2 giây máy bay bay được quãng đường là: 

(m)

vuông tại , ta có:

(m)

II. GÓC NHỊ DIỆN

Bài 1: Quan sát hình ảnh một quyển sổ được mở ra (Hình 35), mỗi trang sổ gợi nên hình ảnh của một nửa mặt phẳng. Nêu đặc điểm của hai nửa mặt phẳng đó.

Giải nhanh: 

Hai nửa mặt phẳng chung bờ

Bài 2: Trong không gian cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Hai mặt phẳng (α), (β) tạo nên bao nhiêu góc nhị diện có cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d?

Giải nhanh: 

Tạo nên 4 góc nhị diện có cạnh của góc nhị diện là đường thẳng

Bài 3: Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d.

Qua một điểm O trên đường thẳng d, ta kẻ hai tia Ox, Oy lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cùng vuông góc với đường thẳng d. Góc xOy gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho (Hình 38).

Giả sử góc x’O’y’ cũng là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho với O’ khác O (Hình 39).

Hãy so sánh số đo của hai góc xOy và x’O’y’.

Giải nhanh: 

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Tính số đo của mỗi góc nhị diện sau:

a) [B, SA, D];

b) [B, SA, C].

Giải nhanh: 

a. 

b.

III. Bài tập

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a.

a) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].

b) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, D].

c) Biết SA = a, tính số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

Giải nhanh: 

a)

b)

c)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều.

a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

b) Chứng minh rằng AC ⊥ (SBD). Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính số đo của góc nhị diện [M, SO, D].

Giải nhanh: 

a) Góc giữa đường thẳng và bằng

b)

c)

Bài 3: Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là 100%, tương ứng với góc 90° (độ dốc 10% tương ứng với góc 9°). Giả sử có hai điểm A, B nằm ở độ cao lần lượt là 200 m, 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc AB dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Giải nhanh: 

Mô hình hóa như hình vẽ, với là chiều dài con dốc, là độ cao của điểm so với mặt nước biển, là độ cao của điểm so với mặt nước biển, là chiều cao của con dốc, độ lớn của góc chỉ độ dốc.

Ta có .

là hình chữ nhật, suy ra:

Vì vuông tại nên ta có tương ứng với

Vậy độ dốc của con dốc đó là

Bài 4: Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính đó, biết tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = AC = 30 cm và BC cm.

Giải nhanh: 

Độ mở của màn hình máy tính bằng số đo góc

Áp dụng định lý vào ta có 

Vậy độ mở của máy tính bằng    

Bài 5: Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là , , , trong cùng mặt phẳng. Lục giác ABCDEG nằm trong mặt phẳng đó có AB = GE = 2 m, BC = DE, = = ,  = = x, = = y. Biết rằng khoảng cách từ C và D đến AG là 4 m, AG = 12 m, CD = 1 m. Tìm x, y (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Giải nhanh: 

Kẻ và cắt tại ; 

Khi đó ta có vuông tại và

Ta có

Vậy ta có

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi α là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosα.

Giải nhanh: 

 Kẻ đường cao , Ta có  

Vậy số đo góc nhị diện bằng

vuông tại nên ta có

Mặt khác

Như vậy