CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT

BÀI 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

I. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Trong Bảng 1 ở phần mở đầu ta thấy:

⦁ Có 13 ô tô có độ tuổi dưới 4;

⦁ Có 29 ô tô có độ tuổi từ 4 đến dưới 8.

Hãy xác định số ô tô có độ tuổi:

a) Từ 8 đến dưới 12

b) Từ 12 đến dưới 16

c) Từ 16 đến dưới 20

Giải nhanh: 

a) Có 48 ôtô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12.

b) Có 22 ôtô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16.

c) Có 8 ôtô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20.9

Bài 2: Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có bao nhiêu số liệu? Bao nhiêu nhóm? Tìm tần số của mỗi nhóm? 

Giải nhanh: 

+ số liệu; nhóm. 

+ Tần số mỗi nhóm lần lượt là: .

Bài 3: Một trường trung học phổ thông chọn 36 học sinh nam của khối 11, đo chiều cao của các bạn học sinh đó và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị: centimét):

Giải nhanh: 

Bài 4: Một thư viện thống kê người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau:

[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

Giải nhanh: 

Bài 5: Trong Bảng 4, có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải:

a) 163 của nhóm 1?                   b) 166 của nhóm 2?

c) 169 của nhóm 3?                     d) 172 của nhóm 4?

e) 175 của nhóm 5?

Giải nhanh: 

a) Có giá trị 

b) Có giá trị 

c) Có giá trị 

d) Có giá trị 

e) Có giá trị 

Bài 6: Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng: [25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97) 

Giải nhanh: 

II. Số trung bình cộng (Số trung bình)

Bài 1: Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 4).

a) Tìm trung điểm x₁ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm 1. Ta gọi trung điểm x₁ là giá trị đại diện của nhóm 1.

b) Bằng cách tương tự, hãy tìm giá trị đại diện của bốn nhóm còn lại. Từ đó, hãy hoàn thiện các số liệu trong Bảng 7.

c) Tính giá trị  cho bởi công thức sau:

Giá trị gọi là số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho.

Giải nhanh: 

a) . 

b) 

c)  

Bài 2: Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán ở Luyện tập 2 

Giải nhanh: 

III. Trung vị

Bài 1: Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tấn số tích lũy như Bảng 10:

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng = 49,5 có đúng không?

b) Tìm đầu mút trái r, độ dài d, tần số n­₃ của nhóm 3; tần số tích lũy cf₂ của nhóm 2.

c) Tính giá trị M_e theo công thức sau:

Giá trị M_e được gọi là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.

Giải nhanh: 

a) Đúng.

b) + Đầu mút trái

+ Độ dài

+ Tần số

+ Tần số tích lũy

c)

Bài 2: Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng 1 

Giải nhanh: 

+ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng là nhóm 3 =>

+ ; ;

+

IV. Tứ phân vị

Bài 1: Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như Bảng 12.

a) Tìm trung vị M_e của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Trung vị M_e còn gọi là tứ phân vị thứ hai Q₂ của mẫu số liệu trên.

b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng = =10 có đúng không?

⦁ Tìm đầu mút trái s, độ dài h, tần số n₂ của nhóm 2; tần số tích luỹ cf₁ của nhóm 1. Sau đó, hãy tính giá trị Q₁ theo công thức sau: Q₁= s + ().h

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu đã cho.

c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng = = 30 có đúng không?

• Tìm đầu mút trái t, độ dài l, tần số n₃ của nhóm 3; tần số tích luỹ cf₂ của nhóm 2. Sau đó, hãy tính giá trị Q₃ theo công thức sau: Q₃= t + ().l

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu đã cho.

Giải nhanh: 

a)

b) Đúng

+ ; ; ;

c) Đúng

+ ; ; ;

Bài 2: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trong bảng 1 (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị). 

Giải nhanh: 

* Tứ phân vị thứ nhất :

+ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng là nhóm 2 =>

+ ; ; ; .

=>

* Tứ phân vị thứ hai :

+ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng là nhóm 3 =>

+ ; ; ;

=>

* Tứ phân vị thứ ba :

+ Nhóm đầu tiên có tần số lớn hơn hoặc bằng là nhóm 3 =>

+ ; ; ;

=>

V. MỐT

Bài 1: Quan sát bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy ở Ví dụ 6 và cho biết:

a) Nhóm nào có tần số lớn nhất;

b) Đầu mút trái và độ dài của nhóm có tần số lớn nhất bằng bao nhiêu.

Giải nhanh: 

a) Nhóm 3 tức là nhóm  

b) Đầu mút trái: ; Độ dài:

Bài 2: Tìm mốt của mẫu số liệu trong Ví dụ 6 (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười) 

Giải nhanh: 

- Nhóm 3/ nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.

- Đầu mút trái ; Độ dài ; 

Tần số ; Tần số ; Tần số

VI. Bài tập

Bài 1: Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị : km/h):

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:

[40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60), [60; 65), [65; 70).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Giải nhanh: 

a) 

b) 

+  

+ Trung vị: Ta có nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng  20 với . 

+ Tứ phân vị:

Ta có nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10 với . 

Ta có nên  nhóm 4 là nhóm có tần số tích lũy bằng 30 với . 

c) Nhóm 2 tương ứng là nhóm có tần số lớn nhất với . Nhóm 1 có tần số và nhóm 3 có tần số .

.

Bài 2: Mẫu số liệu ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam)

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

[15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35), [35; 40), [40; 45), [45; 50), [50; 55).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Giải nhanh: 

a) 

b) +  

+ Trung vị: Ta có nên nhóm 6 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn 15 với . 

+ Tứ phân vị: 

Ta có nên nhóm 5 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn 7,5 với . 

Ta có nên nhóm 6 là nhóm có tần số tích lũy bằng 29 lớn hơn 22,5 với . 

c) Mốt của mẫu số liệu: Nhóm 6 tương ứng là nhóm có tần số lớn nhất với . Nhóm 5 có tần số và nhóm 7 có tần số .

.

Bài 3: Bảng 15 cho ta tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu câu ở vườn thực vật (đơn vị: centimét)

a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu 

Giải nhanh: 

+  

+ Trung vị: Ta có nên  nhóm 3 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn 20 với . 

+ Tứ phân vị: 

Ta có nên  nhóm 2 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn 10 với . 

Ta có nên  nhóm 4 là nhóm có tần số tích lũy bằng 34 lớn hơn 30 với . 

c) Mốt của mẫu số liệu: Nhóm 3 tương ứng là nhóm có tần số lớn nhất với . Nhóm 2 có tần số và nhóm 4 có tần số .