I. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

1. Bảng tần số ghép nhóm

HĐ1

a) Có 48 ô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12.

b) Có 22 ô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16.

c) Có 8 ô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20.

Khái niệm

Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu ghép nhom stheo một tiêu chí xác định có dạng [a; b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. Độ dài nhóm là b - a.

Tần số của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2,... nhóm m kí hiệu lần lượt là n$_{1}$, n$_{2}$,…n$_{m}$.

Bảng tần số ghép nhóm được lập như ở Bảng 2, trong đó mẫu số liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng [a$_{1}$; a$_{2}$); [a$_{2}$; a$_{3}$); ....; [a$_{m}$; a$_{m+1}$), ở đó

a$_{1}$ < a$_{2}$ < .… < a$_{m}$ < a$_{m1}$ và n = n$_{1}$ + n$_{2}$ + ... + n$_{m}$.

Ví dụ 1: (SGK – tr.4)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.4)

Luyện tập 1

Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có: 

• 120 số liệu; 5 nhóm. 
• Tần số mỗi nhóm lần lượt là: 13, 29, 48, 22, 8.

2. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy

HĐ2

Ta có thể chia mẫu số liệu thành năm nhóm dựa trên các nửa khoảng có độ dài bằng nhau:

[160;163); [163;166); [166;169); [169;172); [172;175) 

Ghi nhớ: Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau:

• Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm tiêu chí cho trước;
• Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.

Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là [a$_{m}$; a$_{m+1}$].

Ví dụ 2: (SGk - tr.5)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.5)

Luyện tập 2

HĐ3

a) Có 6 giá trị không vượt quá giá trị 163 của nhóm 1.

b) Có 12 giá trị không vượt quá giá trị 166 của nhóm 2.

c) Có 10 giá trị không vượt quá giá trị 169 của nhóm 3.

d) Có 5 giá trị không vượt quá giá trị 172 của nhóm 4.

e) Có 3 giá trị không vượt quá giá trị 175 của nhóm 5.

Định nghĩa

Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm 1, nhóm 2,..., nhóm m kí hiệu lần lượt là cf₁, cf₂,...,cf_m.

Bảng tần số hép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy được lập như ở Bảng 5.

Ví dụ 3: (SGK – tr.6)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.6)

Luyện tập 3

II. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (SỐ TRUNG BÌNH)

1. Định nghĩa

a) $x_{1}=\frac{160+163}{2}$ =161,5. Vậy $x_{1}=161,5$ là giá trị đại diện của nhóm 1.

b) Tương tự ta tính được các giá trị đại diện.

=> Bảng hoàn thiện:

c) $\overline{x}=\frac{6.161,5+12.164,5+10.167,5+5.170,5+3.173,5}{36}\approx 166,4$

Định nghĩa

Trung điểm x_i của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x, được tính theo công thức: 

$\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+...+n_{m}x_{m}}{n}$

Ví dụ 4: (SGK – tr.7)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.7)

Luyện tập 4

x ≈ 59,2 

2. Ý nghĩa

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. 

Nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu; có thể dùng đại diện cho mẫu số liệu khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng.

III. TRUNG VỊ

1. Định nghĩa

HĐ5

a) Nhóm 3 có tần số tích lũy là 60 => Lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}=49,5$ 

b) Nhóm 3 có đầu mút trái r: 37,5; độ dài d: 5; tần số $n_{3}$: 20

Tần số tích lũy của nhóm 2 là: 40

c) $M_{e}=r+\left ( \frac{49,5-cf_{2}}{n3} \right )\cdot d=37,5+\left ( \frac{49,5-40}{20} \right )\cdot 5=39,875

Định nghĩa

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như ở bảng 5.

Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$, tức là $cf_{k-1}<\frac{n}{2}$ nhưng $cf_{k}\geq \frac{n}{2}$. Ta gọi r, d, nk lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k; $cf_{k-1}$ là tần số tích lũy của nhóm k-1.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_e, được tính theo công thức:

$M_{e}=r+\left (\frac{\frac{n}{2}-cf_{k-1}}{n_{k}}  \right ).d$

Quy ước: $cf_{0}$ = 0.

Ví dụ 5: (SGK – tr.9)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9)

Luyện tập 5

2. Ý nghĩa

Trung vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với trung vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.

IV. TỨ PHÂN VỊ

1. Định nghĩa

HĐ6

a) $M_{e}=120+\left ( \frac{20-19}{13} \right )\cdot 60≈125$ (phút)

b) Nhóm 2 có tần số tích lũy là 19 => Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$

Nhóm 2 có đầu mút trái s: 60, độ dài h: 60, tần số $n_{2}: 13$

Nhóm 1 có tần số tích lũy là: 6

=>  $Q_{1}=60+\left ( \frac{10-6}{13} \right )\cdot 60≈78$ (phút)

c) Nhóm 3 có tần số tích lũy là 32 => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3.40}{4}=30$

Nhóm 3 có đầu mút trái t: 120, độ dài l: 60, tần số $n_{3}:13$ của nhóm 3; tần số tích luỹ $cf_{2}: 19$

=> $Q_{3}=120+\left ( \frac{30-19}{13} \right )\cdot 60≈171$ (phút)

Định nghĩa

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 5.

Tứ phân vị thứ hai Q₂ bằng trung vị M_e.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ được tính theo công thức sau:

$Q_{1}=s+\left ( \frac{\frac{n}{4}-cf_{p-1}}{n_{p}} \right ).h$

Tứ phân vị thứ ba Q₃ được tính theo công thức sau:

$Q_{3}=t+\left ( \frac{\frac{3n}{4}-cf_{q-1}}{n_{q}} \right ).l$

Ví dụ 6: (SGK – tr.11)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.11)

Luyện tập 6

 Số phần tử của mẫu là $n=120$.

Ta có $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}=30$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30. Xét nhóm 2 là nhóm [4 ; 8) có $r=4; d=4; n_{2}=29$ và nhóm 1 là nhóm [0 ; 4) có $cf_{1}=13$

Áp dụng công thức, ta có $Q_{1}$ của mẫu số liệu là

=> $Q_{1}=4+\left ( \frac{30-13}{29} \right )\cdot 4≈ 6,4$ (chiếc) 

Có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60$ => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 60

Xét nhóm 3 là nhóm [8 ; 12) có $r=8; d=4; n_{3}=48$ và nhóm 2 là nhóm [4 ; 8) có $cf_{2}=42$

Áp dụng công thức, ta có $Q_{2}$ của mẫu số liệu là:

$Q_{2}=M_{e}=8+\left ( \frac{60-42}{48} \right )\cdot 4=9,5$ (chiếc) 

Ta có $\frac{3n}{4}=90$. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 90. Xét nhóm 3 là nhóm [8 ; 12) có $r=8; d=4; n_{3}=48$ và nhóm 2 là nhóm [4 ; 8) có $cf_{2}=42$

Áp dụng công thức, ta có $Q_{3}$ của mẫu số liệu là:

$Q_{3}=8+\left ( \frac{90-42}{48} \right )\cdot 4=12$ (chiếc) 

2. Ý nghĩa

Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.

Lưu ý: Q₁, Q₂, Q₃ trong tứ phân vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với bộ ba giá trị trong tứ phân vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu.

V. MỐT

1. Định nghĩa

HĐ7

a) Nhóm 3 tức là nhóm [50;60) có tần số lớn nhất.

b) Đầu mút trái: 50 ; Độ dài: 10

Công thức tính Mốt

Cho mẫu số liệu như bảng sau:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_o được tính theo công thức sau:

$M_{o}=u+\left ( \frac{n_{i}-n_{i-1}}{2n_{i}-n_{i-1}-n_{i+1}} \right ).g$

Quy ước: n$_{0}$ = 0; n$_{m+1}$ = 0

Ví dụ 7: (SGK – tr.13)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.13)

Luyện tập 7

Nhóm 3 tức là nhóm [50;60) là nhóm có tần số lớn nhất.

Đầu mút trái u = 50; Độ dài g = 10; 

Tần số n_i = 16; Tần số n_{i - 1} = 10; Tần số n_{i + 1} = 8

=> $M_{o}=50+\left ( \frac{16-10}{2.16-10-8} \right )\cdot 10≈54,3$

2. Ý nghĩa

Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm Mo, xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị nằm xung quanh Mo thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá tị khác.

Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều nhóm chứa mốt và nhiều mốt.