II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hoạt động 2 trang 81 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

Hoạt động 3 trang 81 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?

Hoạt động 4 trang 82 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua 0. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc với a, b (Hình 18).

a) Giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua và vuông góc voi (P)?

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quna hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Hoạt động 5 trang 83 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 19, hai thanh sắt và bản phẳng để ngồi gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P).

Quan sát Hình 19 và cho biết:

a) Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b hay không;
b) Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng có song song với nhau hay không.

Hoạt động 6 trang 84 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 21, hai mặt trần của nhà cao tầng và cột trụ bê tông gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt và đường thẳng a.

Quan sát Hình 21 và cho biết:

a) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng a có vuông góc với mặt phẳng (Q) hay không;
b) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng có song song với nhau hay không.

V. Phép chiếu vuông góc 

Hoạt động 7 trang 85 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tuỳ ý trong không gian.

a) Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)?
b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm?

VI. Định lí ba đường vuông góc 

Hoạt động 8 trang 87 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 27, mặt sàn gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng a’là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P), đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Quan sát Hình 27 và cho biết:

a) Nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a thì đường thẳng d có vuông góc với a hay không;
b) Ngược lại, nếu đường thẳng d vuông góc với a thì đường thẳng d có vuông góc với hình chiếu a’ hay không.

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Bài 3 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác BCD, ACD. Chứng minh rằng: 

a) CD ⊥ (ABH)

b) CD ⊥ (ABK)

c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm