BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

LT-VD 1 trang 105 sgk toán 11 cánh diều

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh hai mặt phẳng song song.

Giải nhanh:

Các mặt sàn của ngôi nhà nhiều tầng; các mặt bậc cầu thang; mặt bàn và nền nhà; …

II. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT

LT-VD 2 trang 106 sgk toán 11 cánh diều 

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P, I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB, AM, AN, AP. Chứng minh rằng (IJK) ∥ (BCD). 

Giải nhanh:

+) Xét có:

I, K lần lượt là trung điểm của AM, AP 

=> IK là đường trung bình 

=>

Mà ) nên

+) Xét có:

J, K lần lượt là trung điểm của AN, AP 

=> JK là đường trung bình

=>

Mà ) nên

+) Ta có:

=>

LT-VD 3 trang 108 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A', B'. Chứng minh rằng AB = A'B'. 

Giải nhanh:

Giả sử

Ta có: và  

=>

Tương tự ta cũng có

Do

=>

Trong mp(R), xét tứ giác ABB’A’ có:

=> ABB’A’ là hình bình hành

=>

III. ĐỊNH LÍ THALÈS

LT-VD 4 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Bạn Minh cho rằng: Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì... Phát biểu của bạn Minh có đúng không? Vì sao?

Giải nhanh:

Theo định lí Thalès, nếu là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm và thì .
Theo bài, bạn Minh phát biểu rằng
Mà do nên phát biểu của bạn Minh là sai.

BT 1 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao? 

Giải nhanh:

Phát biểu của bạn Chung không đúng, để (P) // (Q) thì hai đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P) cần thêm điều kiện cắt nhau tại một điểm.

BT 2 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A', B', C', D'. Chứng minh rằng A'B'C'D' là hình bình hành.

Giải nhanh:

+) Ta có: 

Mà  

=> .
+) Ta có: a // d nên A'A // D'D
Mà nên .
+) Ta có: ; ;
cắt nhau tại và cùng nằm trong

+) Ta có:

=> .
Chứng minh tương tự: .
+) Tứ giác có: 

=> là hình bình hành.

BT 3 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Lấy G₁,G₂,G₃ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. 

a) Chứng minh rằng (G₁G₂G₃)∥(BCD).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G₁G₂G₃) với mặt phẳng (ABD). 

Giải nhanh:

a) Gọi lần lượt là trung điểm của , .

Ta có: và và .

=> => .

Mà nên .

Chứng minh tương tự, ta có: 

. 

Mà  

=> (2). 

Từ (1) và (2) suy ra .

b) Do là một điểm chung của hai mặt phẳng và nên theo Định lí 3 ta có: tại một đường thẳng đi qua và song song với

BT 4 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. 

a) Chứng minh rằng (AFD) ∥ (BEC). 

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính AN/NC. 

Giải nhanh:

a) Vì là hình bình hành nên . 

Mà không thuộc mặt phẳng  

=> . 

Tương tự, do là hình bình hành nên , 

=> . 

Mà , cắt nhau và nằm trong mặt phẳng nên theo Định lí 1 , ta có: .

b) Gọi là giao điểm của và , khi đó là trung điểm đoạn mà là trọng tâm của tam giác nên và , hay . 

Ta có đường thẳng cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại . Đường thẳng cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự . 

Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có: